Asymptote

a. On a f (x) = ex ln x + (x ln x + 1). On a lim x ln x = 0, donc lim x ln x+ x→0 x→0 x x ex 1 = 1 et lim = +∞, d’où par produit de limites, lim f (x) = +∞. x→0 x x→0 b. Le résultat précédent montre que l’axe des ordonnées Dd’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C au voisinage de zéro. Partie B : étude d’une fonction intermédiaire 1. 2x 1 2 x 2 − 2x + 2 1 2 2 . − 2+ 4 = − 2+ 3= x x x x x x x3 b. Comme x > 0 ⇒ x 3 > 0, le signe de g ′ (x) est celui de x 2 − 2x + 2. Pour ce trinôme ∆

commande Maple plot avec la syntaxe suivante > plot([2*sin(t), cos(t), t=0..2*Pi]); On rappelle que pour superposer plusieurs courbes, on dispose de la fonction display : ceci peut s’av´rer e utile lors de l’´tude des branches infinies (pour tracer une asymptote, par exemple). e 2.1 Pour commencer x(t) = cos(λt) y(t) = sin(µt) pour diff´rentes valeurs de λ et µ e x(t) = t − t3 y(t) = t2 − t3 Tracer les courbes suivantes Lissajous : x(t) = 2 sin(t) + cos(t) y(t) = sin3 (t) + 2 cos3 (t) Faire

lim f (x) = +∞ ou encore f (x) −→ +∞ e x→a x→a Remarque 1 f tend vers −∞ quand x tend vers a si et seulement si −f tend vers +∞ quand x tend vers a ´ INTERPRETATION GRAPHIQUE : Si lim f (x) = ±∞ alors la courbe repr´sentative de f admet une asymptote verticale d’´quation x = a. e e x→a Cf a Figure 1 – Repr´sentation d’une fonction f tendant vers −∞ en a, a ∈ R e 1.3 Limites en l’infini On veut savoir comment se comporte f (x) quand x se rapproche de +∞ (respectivement −∞). Pour

interprétation graphique de ces deux limites. Limite en zéro. On sait que lim ln x =−∞ , donc lim f  x =−∞ car de la forme −∞ . x→0 x→0 0 La courbe représentative de f possède donc une asymptote verticale en zéro. Limite en + ∞ D’après 1. a. lim f  x =0. x →∞ La courbe représentative de f possède donc une asymptote horizontale(l'axe des abscisses) en + ∞. b. Étudier les variations de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. f est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables (avec x ≠ 0). 1 ×

en 0+ est +∞, ainsi que celle en +∞ en utilisant cette fois le théorème des croissances comparées. x D’où le tableau de variations : f (x) f (x) +∞ 0 − 1 0 0 + +∞ +∞ ∗ 1) f (x) = x − 1 − ln(x) sur R+ . a) f (x) = 1 − b) En 0+ , on a une asymptote verticale. f (x) 1 ln(x) =1− − → 1. En +∞, on cherche la limite de : x x x x→+∞ On a au moins une branche infinie de direction asymptotique y = x. On cherche maintenant la limite de : f (x) − x = −1 − ln(x) → −∞. x→+∞ On a finalement une branche

fonction f . 3.Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera l’équation. c , prouver que la courbe 4.Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b + x+2 représentative de la fonction f admet une asymptote oblique dont on donnera l’équation. 5.Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (unité 1 cm), faire figurer les asymptotes ainsi que les tangentes horizontales. EXERCICE 2 : Pour chacune des limites suivantes

(x) = L, on dit que f admet une asymptote horizontale x→∞ a` y = L. Alors 1 x admet une asymptote horizontale a` y = 0. 1 LIMITES 12 Notez que lim+ x→0 1 = ∞, x lim− x→0 1 = −∞ x ` vrai dire, ces limites n’existent pas parce que ±∞ ne sont pas des nombres A r´eels. Au lieu, lorsqu’on ´ecrit qu’une limite comme x approche c est ±∞, nous voulons dire que la fonction est “illimit´ee” comme x → c. Lorsque ceci est le cas, on dit que f (x) admet une asymptote verticale a` x = c. Exemple 12

repère orthogonal O ; #” ı , #”  . Partie A : Étude du cas k = 1 On considère donc la fonction f 1 définie sur Ê par f 1 (x) = xe−x . 1 . Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞. En déduire que la courbe C 1 admet une asymptote que l’on précisera. 2 . Étudier les variations de f 1 sur Ê puis dresser son tableau de variation sur Ê. 3 . Représenter la courbe C 1 sur le graphique de la partie B 4 . Démontrer que la fonction g 1 définie et dérivable sur Ê telle que

effet cette position (voir également l'article fonction convexe). Le changement de variable h=1x permet, à l'aide d'un DL0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote). Quelques exemples[modifier | modifier le code] Fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0 Les fonctions suivantes

négative sur ]-∝ ; 1] Et f est croissante sur [1 ; +∝[ et décroissante sur ]-∝ ; 1] b) Déterminer la limite de f en +∞. f(x) = x − > +∞ 1 xe −x + 1 lim xe −x = 0 donc lim f( x) = 1 x − > +∞ La courbe représentative de f admet une asymptote horizontale en +∝ d’équation y = 1 c) Dresser le tableau de variation de f. x Signe de f’(x) Variations de f 0 1 1 0 +∝ + +∝ e e +1 d) Construire la courbe représentative (C) de f sur [0, +∞[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera