Asymptote

x ) f ( x ) = ln [ e x ( 1 + 2e – 2x ) ] f ( x ) = lne x + ln ( 1 + 2e – 2x ) f ( x ) = x + ln ( 1 + 2e – 2x ). Rappel : ln ( a × b ) = lna + lnb lne x = x m 2. Calculer la limite de la fonction en + ∞ et démontrer qu’une droite donnée est asymptote à . Étudier enfin la position relative de deux courbes • Utilisons l’expression f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) . ⎧ lim e x = + ∞ ⎪x → + ∞ On a ⎨ ⎪ lim e – x = lim e X = 0 en posant X = – x . X → –∞ ⎩x → + ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x

unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0 ; x®

+∞ b)−∞ c) 0 4) lim?→2+ ?(?)= ? a) +∞ b)−∞ c) 0 5) lim?→2− ?(?)=? a) +∞ b)−∞ c) 0 6) La droite D est une asymptote oblique à C au voisinage de ±∞ ,l’équation de D est : a) y=2x-1 b) y=2x+1 c)y=2 7) lim?→±∞ (?(?) − 2? − 1)= ? a) +∞ b)−∞ a)Horizontale b) Verticale c) 0 8) La droite d’équation x=2 est une asymptote c)Oblique ExerciceN °2 :(8_Pts) Soit la fonction ? definie par :?(?) = � ?+1 ?−5 ?? ? ≤ 2 −? + 1 ?? ? > 2 1)Determiner

lim x 3 − 2 x 2 x→ 2 + x→ 2 ( x + 1)( x − 2) x 2 ( x − 2) = lim+ x→ 2 3 x +1 = . 2 4 x 4) Asymptotes Soit ƒ une fonction et Cƒ sa représentation graphique dans un repère (O,u,v ) . Si : • x →+∞ lim ƒ(x) = (resp. lim ƒ(x) = ) alors la droite d'équation y = x →−∞ (resp. en −∞) • x→a ∗ lim ƒ(x) = +∞ ou lim∗ ƒ(x) = −∞ alors la droite d'équation x = a est une asymptote verticale à Cƒ. x→a (x → a* signifiant que x → a ou x → a+ ou x → a−) • x →+∞ lim (ƒ(x) − (ax +

et strictement décroissante, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ] 1 ; + [. Partie C 1. a) La limite de g en + est donc 100 / 1 = 100. b) Cela signifie que la courbe de g admet une asymptote horizontale d’équation y = 100 en + . c) On peut l’interpréter comme le fait que le taux d’équipement pour les ménage va à long terme plafonner à 100% 3 2. Pour le taux d’équipement atteint avec ce modèle en 2016, on calcule g (13) 86,1 %.

changements de variables différents à chaque fois ( √ La fonction est paire, il suffit de faire une étude pour Donc est croissante sur , et et en et en faisant des ). √ en et , la courbe admet une tangente horizontale en Donc la courbe admet une asymptote horizontale d’équation On en déduit l’allure de la courbe en . . 1,2 1 0,8 0,6 0,4 xp 0,2 0 -8 -6 -4 -2 -0,2 0 2 4 Attention : La courbe à l’air d’avoir un « plat » autour de voisinage de sont si petites que à l’air d’être nul. Problème

imaginaire. Dédicace à Brice de Nice : T'es comme l'intersection de deux droites parallèles, t'existes pas ! T'es comme le théorème de Pythagore dans un triangle quelconque, tu sers à rien ! En fait, toi avec les filles, c'est comme une asymptote verticale : tu t'en rapproches mais tu ne leur passe jamais dessus!! Comment attrape-t-on un Pokémon scientifique? Avec des hyperboles ! 0+0=? => 0+0=θ-τ-τ (thêta-tau-tau = la tête à Toto) Un élève de terminal révise ses fiches de

fonction définie par f(x) = 8x² - x + 1 , Cf sa courbe représentative. 4x² + 1 1. Déterminer le domaine I de f. 2. a. Démontrer l’existence d’une asymptote horizontale D à Cf en l’infini. c. Déterminer une valeur approchée de f(200), en justifiant votre réponse. b. Déterminer les positions relatives de D et Cf . La courbe croise t-elle son asymptote ? 3. Dresser le tableau de variations de f sur I. 4. Déterminer enfin l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0. EXERCICE 2 – 4 points

pour coordonnées (0 ;2) b. lim x + 2 = -∞ et lim e-x = +∞ donc lim f(x) = -∞ x → -∞ x → -∞ f(x) = xe-x + 2e-x x → -∞ lim xe-x = lim -xex = 0 et lim e-x = 0 donc lim f(x) = 0 x → +∞ x → -∞ x → +∞ x → +∞ Il y a donc une asymptote horizontale d’équation y = 0. c. f est un produit de fonctions dérivables sur ℝ, elle est donc dérivable sur ℝ également. f ’(x) = e-x – (x + 2)e-x = -(x + 1)e-x. f(-1) = e 1  1  1  3 f(0) + f   + f   + f    = 1,642 à 10-3

Déterminons les limites de f en 1, pour repérer une éventuelle asymptote verticale. Calculons [pic]. Lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, x² – 3 tend vers -2 , et x-1 tend vers 0 par valeurs inférieures , donc, en vertu de la règle concernant la limite d'un quotient de fonctions, on a : [pic]= [pic]. On démontre de manière analogue que : [pic]=[pic]. On déduit de ces calculs de limites que la courbe Cf admet en 1 un asymptote verticale d'équation x = 1 . Pour déterminer l'asymptote