Asymptote

fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm). Partie 1 1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C). 2. Pour x > 0, calculer [pic]. Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on en déduire pour la courbe

¦ définie sur  par : ¦(x) = x2 + x + 1 - x On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; r r i,j ) 1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ? 2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x - 1 2 est asymptote oblique à C¦ en -¥. Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur  Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée. On rappelle que

irrationnelle On considère la fonction ¦ définie sur  par : r r On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; i , j ) 1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ? 2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x 1 est asymptote oblique à C¦ en -¥. 2 ¦(x) = x2 + x + 1 - x Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur  Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée

420-400e -0.3t <=> lim -0.3t = -∞ donc lim ex = 0 alors : x--->+∞ x--->+∞ X---->-∞ <=>lim 420-400e -0.3T = (420 car 420-0 = 420) explication pour toi et non le prof donc quand x tend vers l'infini C(t) tend vers une asymptote horizontale y=420 fait de même pour la limite de 0 tu doit trouver 20 dérivée de C(t) C'(t) = 420-400e-0.3t <=> -400* -0.3*e-0.3t <=>120e-0.3t POUR LES VARIATIONS , SE RÉFERER AU LIMITE SACHANT QU'UNE FONCTIONE EXPONENTIELLE

tangente T à C a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C en -∞. Préciser la position de D par rapport à C. Pour quelles valeurs de x la → distance entre C et D (mesurée parallèlement à (O ; j )), est-elle inférieure à 0,01 cm ? 6. Représenter C sur [-3 ; 2], ainsi que D et T. B- La courbe

représentative de f notée Cf admet une asymptote verticale d’équation x = 0 (b) Nous avons : lim f (x) = +∞ x→+∞ Car : • lim (x + 1) = +∞ x→+∞ • x − 1 + ln x = 0+ du fait que : x2 1 x − 1 + ln x ∼ +∞ x x2 car ln x = o (x − 1) par croissances comparées. lim x→+∞ +∞ (c) Comme au voisinage de +∞ : f (t) = x + 1 + ε (x) x − 1 + ln x et lim ε (x) = 0 nous pouvons dire que la courbe représentative de x→+∞ x2 fa admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (∆) d’équation :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e e Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est égale à = = . 2 2 4e 1 1 . Donc f (x) dx 4e 0 Partie B xe−x . x2 + 1 f (x) = x→+∞ x→+∞ 1. On sait que lim e−x = 0, lim x n e−x = 0, quel que soit n ∈ N. De plus lim x 2 = 0, donc lim f (x) = 0. x→+∞ x→+∞ L’axe des abscisses est donc asymptote horizontale à C au voisinage de plus l’infini. 2. g fonction polynôme est dérivable sur [0 ; +∞[ et sur cet intervalle g ′ (x) = 3x 2 + 2x + 1. 2 1 2 1 1 2 2 2 Or 3x 2 + 2x + 1 = 3 x 2 + x + 1 = 3 x + − +1 = 3 x + + > >0 3 3 3 3 3 3 ′ Conclusion g

a = + ∞ ; 2 x 2 − x +1 c) f (x) = x 2 + 2 x + 5 + x pour tout x et a = − ∞ ; d) f (x) = 2 x 2 + x + 5 − x pour tout x et a = + ∞ ; e) f (x) = 2 c os 2 x −1 π π pour x ≠ et a = . 6x −π 6 6 Montrer qu’une droite est une asymptote oblique Méthode : Selon le programme, l’équation de l’asymptote doit être donnée ou au moins suggérée. On se trouve alors face à l’étude d’une forme indéterminée du type « + ∞ − ∞ ». Ne pas oublier que lim ( f ( x ) − a x ) = b équivaut à x lim∞

x→+∞ x 2x tend vers +∞. La courbe repr´esentative de la fonction sh admet donc une branche parabolique de direction asymptotique (y’y). y = sh x ✻ O ı ✲ On peut de plus remarquer que puisque ch x − sh x = e−x , les deux courbes ci-dessus sont asymptotes en +∞, la courbe repr´esentative de ch ´etant constamment au dessus de celle de sh. 6.3.3 Etude de la fonction th Comme ∀x ∈ R, ch x ≥ 1, th est d´efinie, continue et ind´efiniment d´erivable sur R. Pour tout x de R, on a th (−x) = −th x : la fonction