Asymptote

geometrique de raison q avec q = -(5/3) Exercice 3 f(x) = ((x-1)/x)*(ln(x)-2) 1) lim f → +∞ = +∞ lim f → 0 = +∞ La fonction inverse définie sur R\{0} admet la droite d’équation y = 0 comme asymptote horizontale au voisinage de +∞ . 2) Tableau de variations : X -∞ 0 +∞ Var de f 0 → −∞ || + ∞ → 0 3) f(x) = ((x-1)/x)*(ln(x)-2) f'(x) = 1/x(ln(x)-2)-1/x²(x-1)(ln(x)-2)+1/x²(x-1) 4) L'équation réduite

règle est C ϭ b Ϫ 100 ϩ 30, où C est le coût de production (en $) par appareil et b, le nombre de baladeurs produits. b) Non, le coût de production minimal tend vers 30 $, mais ne l’atteint jamais puisque la représentation graphique comporte une asymptote horizontale d’équation y ϭ 30. c) Le coût de production maximal est de 20 030 $ si l’entreprise produit 101 baladeurs. 20 000 d) C ϭ 3000 Ϫ 100 ϩ 30 Ϸ 36,90 Le coût de production d’un baladeur est environ de 36,90 $. e) 20 000 46 ϭ b Ϫ 100 ϩ 30

x0 si lim f (x) = f (x0 ) x→x0 < f est continue ` droite a en x0 si lim f (x) = f (x0 ) x→x0 > lim f (x) = f (x0 ) On dit que f : D → A est continue si Question 23 f est continue pour chaque x0 ∈ D . Si une fonction f a une asymptote oblique, alors lim f (x) = x→±∞ La r´ciproque est e fausse . ±∞ . L’asymptote oblique peut ˆtre calcul´e en effectuant e e 1. une division euclidienne, mais cela n’est possible que si f est rationnelle ; 2. des calculs de limites :

TS − Devoir n°7 − DNS x3 + 4 x2 − 3 Soit la fonction f définie sur R par f(x) = . x2 + 1 → Soit cf sa courbe représentative dans un repère (O ; i , j ) : unités 1 cm. 1) Calculer les limites de f en + ∞ et en – ∞. cx + d 2) Déterminer les réels a, b, c, d, tels que f(x) = ax + b + 2 . Que pouvezx +1 vous en conclure pour la droite (d) d’équation y = x + 4 et la courbe cf ? 3) Etudier le signe de ε(x) = f(x) − (x + 4) suivant les valeurs de x. En déduire les positions relatives de cf et de (d)

tangente au point d’abscisse 1  a pour équation : y = ex + b Le point de tangence a pour coordonnées : A ( 1 ; e )  D’où : e = e x 1 + b Donc b = 0. La tangente en 1 passe donc par l’origine.    Comme [pic] , l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en [pic] Et la fonction exponentielle étant strictement positive, sa courbe est toujours au dessus de l’axe. 4/ Fonction exponentielle au voisinage de 0 Intéressons-nous au nombre dérivé de la fonction exponentielle en

lim + x® 0 sin x = 0 car lim + sin x = 0 et lim + cos x = 1 cos x x® 0 x® 0 lim - sin x = 1 et x® p 2 sin x lim - ¦(x) = lim = +¥ car p p cos x x® x® 2 2 lim - cos x = 0 avec cos x > 0. x® p 2 La fonction tangente admet donc une asymptote verticale d'équation x = p . 2 Dérivée : la fonction ¦ est de la forme u u¢v - uv¢ , sa dérivée ¦' sera donc égale à , ce qui donne : v v2 cos x cos x - sin x ( - sin x ) 1 ¦'(x) = = = 1 + tan2 x 2 2 cos x cos x 1 p [, on en déduit que

cette zone sera alors moins pertinente. Milieu fermé : Pour randomiser nos résultats nous avons pris 12 ordres différents de relevé, ce qui nous donne une courbe de richesse cumulée moyenne. Notre courbe ne tend pas tout à fait vers une asymptote horizontale , nous n’avons donc pas un nombre suffisamment important de quadras pour notre étude. Par ailleurs la zone fermée est majoritairement représenté par la strate arborescente. cette recherche nous a permis d'une part d'établir la richesse

2x 2. On a que 3 ⇥ ( 2e 2x ) 6e 2x = . (1 + e 2x )2 (1 + e 2x )2 > 0. Donc, pour tout x 2 R, f 0 (x) > 0. Donc f est strictement croissante sur R. lim e 2x x!+• =0 donc, 3 = 3. x!+• x!+• 1 + e 2x Donc la droite d’équation y = 3 est une asymptote horizontale à la courbe C . lim f (x) = lim 3. La fonction f est strictement croissante sur R. De plus elle est continue sur R (car dérivable sur R). 3 3 = = 1, 5 et lim f (x) = 3. Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs x!+• 1 + e 2⇥0

donc par produit de limites x→−∞ lim (x + k)e−x = −∞. x→−∞ x→−∞ – On a f k (x) = xe−x + ke−x . Comme lim e−x = 0 et comme lim x→+∞ x en déduit que lim f k (x) = 0. x→+∞ x→+∞ ex = 0, on L’axe des abscisses est donc asymptote horizontale à C k au voisinage de plus l’infini. 2. On remarque que les fonctions f k sont toutes les solutions de l’équation dif′ ′ férentielle (E), donc f k + f k = e−x . Donc f k (x) = e−x − f k (x) = e−x −(x +k)e−x = ′ −x f k (x) = e (1 − k

l'équation différentielle: ⁄ ( ) , où m est la masse du grêlon et k le coefficient de frottement fluide. Le but est de trouver la vitesse limite numériquement. On va donc calculer la courbe de variation de la vitesse en fonction du temps. Son asymptote horizontale donnera la valeur de la vitesse limite. Schéma du point milieu (RK2) La Méthode Le Schéma du point milieu est la première fonction, que nous avons implémentée dans le programme joint au rapport. Ce schéma est une composition de la méthode