Asymptote

l'aide de la représentation graphique ci-dessous : | Zoom | Remarque – Au voisinage de l'infini, les deux branches de l'hyperbole se rapprochent de l'axe des abscisses qui est une asymptote au voisinage de et . – Au voisinage de l'origine O, elles se rapprochent de l'axe des ordonnées qui est une asymptote au voisinage de 0. – Pour connaître la limite d'une fonction quelconque, on décompose cette fonction en une somme, une combinaison linéaire, un produit, un quotient ou une composée de fonctions

dénominateur On multiplie par la quantité conjuguée … Comment déterminer les asymptotes à une courbe Cf ? Asymptote verticale ssi lim f ( x) = ∞ : la droite verticale d’équation x = a est alors asymptote à Cf. x →a Asymptote horizontale ssi lim f ( x) = b : la droite horizontale d’équation y = b est alors asymptote à Cf en x →∞ Asymptote oblique ssi lim f ( x) − ( ax + b ) = 0 : la droite d’équation y = ax + b est alors asymptote à Cf en x →∞ ∞. ∞ .… Comment étudier la position de deux courbes

sur , par .   1) Etudier les variations de g   2) Déterminer alors le signe de g(x) pour    B) Etude et représentation graphique de la fonction f : 1) Etudier les limites de f en  et en    2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est asymptote à (C) puis étudier la position      relative  de (C) par rapport à (D) lorsque  3) Calculer f'(x) puis en déduire que, pour tout    4) Dresser le tableau de variation de f   5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse

Exercice 4. Soient et définies par : ( ) ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) 1. Donner le développement limité de et au voisinage de à l’ordre . 2. En déduire l’équation d’une droite asymptote au graphe de en . 3. En déduire l’équation d’une droite asymptote au graphe de en et positionner cette asymptote. Allez à : Correction exercice 4 par rapport à Exercice 5. Soit la fonction pour tout définie par ( ) √ 1. Déterminer le développement limité de , à l’ordre au voisinage de . 2

intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞. b) La droite d’équation y = 3 est asymptote à Reconnaître l’existence d’une asymptote oblique. 3 a) lim (x + 1) = + ∞ et lim 2 = 0 donc lim f(x) = + ∞. x→+∞ x→+∞ x x→+∞ b) lim [f(x) – (x + 1)] = lim 2 = 0 x→+∞ x→+∞ x donc la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à en + ∞. Reconnaître l’existence d’une asymptote verticale. 4 a) lim (ex – 1) = 0. Si x >

On a lim e = 0, donc lim f (x) = 0. Interprétation graphique : l’axe des abs1. On sait que ex = 0, quel que soit le réel x ; f (x) = x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→+∞ cisses est asymptote horizontale au voisinage de moins l’infini à C . De même lim e−x = 0, donc lim f (x) = 1. Interprétation graphique : la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale au voisinage de plus l’infini à C . 3. f est dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s’annulant pas sur R. e−x (−e−x ) = . Comme

droite d’équation y = 1 est asymptote à C en +(. 4.a. Etudier la parité de cette fonction et en déduire sa limite en –(. th est définie dans I = IR donc si x ( I, alors –x ( I. th(−x) = = − = − th(x) donc th est impaire on a alors f(x) = − f(x) = −1 4.b. Quelles conséquences graphiques pouvez-vous en tirer ? th est impaire donc C est symétrique par rapport à l’origine O du repère. et th(x) = −1 donc la droite d’équation y = −1 est asymptote à C en –(. 5. Etudier

{draw:frame} {draw:frame} _ f’ a le signe de x.g(x) Donc a) Pour tout x, de IR{-1 ;1} : {draw:frame} {draw:frame} b) f(x) – (x + 2) = {draw:frame} {draw:frame} et {draw:frame} {draw:frame} On en déduit que la courbe C admet une asymptote oblique (d) : y = x+2 en +∞ et en -∞ c) étudions le signe de f(x) – (x+2) = {draw:frame} {draw:frame} La courbe C est au-dessus de la droite (d) pour x {draw:frame} {draw:frame} ]-2 ;-1[ U ]1 ;+∞[ La courbe C est en dessous de la droite

→1 (x2+3x+12) tend vers 16 et (x-1) tend vers 0- et de même lim f ( x) = +∞ ceci permettant de conclure que la droite d’équation x=1 est une + x →1 asymptote verticale. 16 et donc lim f ( x) − ( x + 4) = 0 ce qui prouve que la droite d’équation x →±∞ x −1 y=x + 4 est une asymptote oblique. 4. f(x)-(x+4)= 5. On utilise la dérivée d’un quotient f '( x) = (2 x + 3)( x − 1) − ( x 2 + 3 x + 12)(1) ( x − 1) 2 donc f '( x) = x 2 − 2 x − 15 . ( x −

et . 2°) Déterminer f'(x) pour tout x réel. 3°) En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de f et donner son tableau de variation. 4°) Démontrer que f() = (1 + 2e-) 5°) Démontrer que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à (C) en . Préciser la position de (C) par rapport à . 6°) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0. 7°) Tracer , T puis (C). CORRECTION DEVOIR Problème Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire 1°)