Asymptote

par : f  x   x 2 1  cos    .  x    La courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i, j admet au voisinage de  :  a-  b- Une branche infinie parabolique  de direction la droite D O,i c- Une asymptote horizontale   Une branche infinie parabolique de  direction la droite D O, j   3- Le tableau de variation ci-dessous d’une fonction f : x 2   1   3 f 2  a- i  1 x  lim f

rapport à d. Conclusion : les graphes d'une fonction et de sa réciproque sont images l'un de l'autre par une symétrie orthogonale d'axe y = x : bissectrice principale des axes de coordonnées. Asymptotes. Si le graphe d'une fonction admet une asymptote verticale x = a, alors le graphe de sa réciproque admet une asymptote horizontale y = a et inversement. y 4 y=x 2 Le graphique ci-contre illustre le cas de la fonction f(x) = 1 1 et de sa réciproque g(x) = +1 x x 1 -6 -4 -2 0 2 4 -2 f(x) admet

les solutions d'une équation ou d'une inéquation. - Lire graphiquement le signe d'une fonction. - Résoudre graphiquement f ’(x) = 0, f ’(x) > 0, f ’(x) < 0. - Lire graphiquement un nombre dérivé f ’(a). - Lire graphiquement une limite quand une asymptote est tracée. • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité d'une fonction - Calculer la dérivée d’une fonction à l’aide des théorèmes. - Etudier le signe d’une dérivée - Déterminer un extremum d'une

définition. b) En déduire que Cf admet une asymptote (d) dont on donnera une équation. 2. a)Vérifier que, pour tout x[pic]2, f(x) = –2x + 3 + [pic]. En déduire que Cf admet, en + ∞ et en – ∞, une asymptote oblique (D) dont on donnera une équation. b) Etudier la position de Cf par rapport à (D). 3. a) Calculer f ’(x) pour x [pic]2. b) Dresser le tableau de variations de f. 4. Représenter, dans le repère joint en annexe, la courbe Cf et ses asymptotes. Exercice n°4

l’intervalle ]0 ; +∞[ par : ln x x2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal (O ; ı ;  ). f (x) = 2x − 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite ∆ d’équation y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆. 3. Justifier que f (x) a même signe que g (x). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère (O

élémentaires Fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Opérations et limites 13 asymptotes : rappel • une droite d’équation x = x0 est asymptote à la courbe de la fonction f lorsque limx→x0 f (x) = ±∞ • une droite d’équation y = y0 est asymptote à la courbe de la fonction f lorsque limx→±∞ f (x) = y0 • il existe également des asymptotes obliques : la droite d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de la fonction f (x) lorsque limx→±∞ [f (x) − (ax + b)] = 0

qu’il existe trois nombres a, b et c tels que g(x) = a x + b + [pic]sur[pic]. 5. Étudier les limites de [pic]en [pic]et en [pic]. En déduire que la courbe [pic]admet une asymptote verticale D dont on précisera l'équation. 6. Étudier les limites de[pic]en [pic]et [pic]. 7. Démontrer que la droite Δ d'équation [pic]est asymptote oblique à la courbe[pic]en [pic]et en [pic] Préciser la position relative de [pic]et de Δ. 8. Déterminer [pic], puis dresser le tableau de variation de [pic]. 9

dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 2. Remarque : Il existe aussi des fonctions qui ont pour limite − ∞ quand x tend vers un réel a, dans ce cas également la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe. Les différents cas : Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a. Soit II ASYMPTOTE HORIZONTALE Soit f

pour x ∈ − http://nathalie.daval.free.fr -3- BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 Propriété 2 On a les limites importantes suivantes : o lim ln x = −∞. x→0+ o x→+∞ lim ln x = +∞. Conséquence : La droite x = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D’où le tableau de variations et la courbe : 0 1 + +∞ f −∞ signe − 0 + +∞ 2 1 n(x) y=l x f ′ (x) −1 −1 −2 −3 −4 −5 1 2 e3 4 5 6 7 8 I.4 Fonction exponentielle

7x + 3) pour x ∈ − http://nathalie.daval.free.fr 1 ; +∞ . 2 -3- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Propriété 2 On a les limites importantes suivantes : ♦ lim ln x = −∞. ♦ x→0+ lim ln x = +∞. x→+∞ Conséquence : La droite x = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D’où le tableau de variations et la courbe : n(x) y=l 2 1 x 0 1 f ′ (x) +∞ + +∞ f I.4 1 2 e3 4 5 6 7 8 −2 −3 −∞ signe −1 −1 − 0 + −4 −5 Fonction exponentielle Définition