Asymptote

lim → I → = −∞ 4. a. Déterminer toutes les asymptotes de la courbe représentative de f. (on montrera bien que les asymptotes données sont les seules !) La fonction f est définie sur D= ℝ\{−1 ; 2} Donc la courbe représentative de f ne peut admettre des asymptotes qu’en -∞, -1, 2 et +∞ Or lim → = 0 donc la courbe n’a pas d’asymptote au voisinage de 0 De plus lim = +∞ ! lim = −∞ JK=L la courbe admet la droite d’équation x=2 comme asymptote → H → I verticale au voisinage de 2 Enfin, pour

déduire que la courbe (C) a une asymptote dont vous donnerez une équation. 3) Montrer que [pic]. 4) Dresser le tableau de variation de la fonction f (après l’avoir justifié). 5) Déterminer les réels [pic] et c tels que pour tout réel x, [pic], [pic]. 6) Soit la droite (D) d’équation [pic]. a) Montrer que la droite (D) est asymptote oblique à (C) en [pic] et en [pic]. b) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote (D). c) Existe-t-il

2 + ) x x lim 3 x→−∞ x²(2− 2 ) x 2 = 5 1− 2 + lim x x 3 x 2− 2 x→−∞ = −∞ x Définition : Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ ou de -∞. - Si lim f(x) = l x→+∞ - Si lim f(x) = l x→−∞ l∈ℝ On dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à Cf Propriété : Si f est une fonction définie au voisinage de +∞ (ℝ+) Si (Un) est une suite définie par Un=f(n) Si lim f(x) = l alors lim Un = l x→+∞ n→+∞ Remarque : La réciproque est fausse. f(x)=cos(2πx) Un=cos(2πn)=1 f n'admet

définition de f 2)Étudier les variations de f. 3)a) Démontrer que la droite ∆ d'équation y = x − 1 est asymptote à (C) en + ∞ . b) Montrer que pour tout x de IR on a x2 − 2x + 2 > (x − 1)2 c) En déduire la position de C par rapport à ∆. 4) Montrer que la droite ∆’ d’équation x = 1est un axe de symétrie de la courbe (C ) 5)En déduire l'existence d'une asymptote oblique en − ∞ . 6) Tracer les asymptotes, la droite ∆’ et la courbe (C). Exercice 3 La courbe ζ ci-dessous est celle d’une fonction f de type

fonction définie sur ]1; + ([ par : [pic] . On appelle Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 1. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle, qu’en déduit-on pour la courbe Cf ? 2. Montrer que Cf admet une asymptote ( d’équation y = 2 x + 1. Étudier les positions relatives de la courbe Cf et de la droite (. 3. Calculer la dérivée de la fonction f. 4. Étudier les variations de f. 5. La fonction f admet-elle un maximum ? un minimum ? 6. Donner une équation

et continuité) 0.1 Énoncés Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe Cf admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses : 1. f : x −→ 3x2 − 2 sur R x2 + 1 2. f : x −→ 2 − 3x sur R +x+1 x2 Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x2 + 3x + 2 x Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en −∞ 1 + 2 sin x √ sur ]0; +∞[ 1+ x 1 3 √ ≤ f (x) ≤ √ 1. Démontrer que, si x

d’abscisse y=1 1 H -2 -1 0 1 2 G -1 y=-1 I) Donner le tableau de signe de : ( ) − ( ) II) Soit la fonction définie sur par : ( )=√ + − 1) Calculer 2) Montrer que la droite ∆∶ au (+∞) 4) Montrer que : 5) Montrer que → ( )+ = − est une asymptote oblique à = −∞ est dérivable sur et interpréter le résultat et que : ′( ) = ( )− ( ) 6) Dresser le tableau des variations de Devoir de synthése n°1 2013-2014 4éme maths Page 3 =− 7) On admet que la droite d’équation au point d’abscisse

continue en –1. 3. Faire une esquisse de la représentation graphique de f sur [ –4 ;4] Exercice 4 : (4 points) a. Etudier la limite éventuelle de  h : x ) sin ) en + b. Montrer que la droite D d’équation y = x + 3 est asymptote à la courbe représentative de la fonction g : x ) en + Exercice 5 : (5 points) 1. Soit f la fonction définie sur [0 ; +[ par f(x) = + 2x − 4 a. Etudier, sans utiliser de dérivée, les variations de f. b. Justifier que

Il faut exclure les valeurs qui annulent un dénominateur u ( x ) n’est défini que ssi u ( x ) ≥ 0 ; ln ( u ( x ) ) n’est défini que ssi u ( x ) > 0 Les conditions peuvent se cumuler, d’où systèmes et intersections d’intervalles Limites et asymptotes C’est aux bornes (finies ou infinies) de l’ensemble de définition de f que l’on étudie ses limites. Interviennent alors : - Les limites « usuelles », souvent intuitives ( lim x 2 = +∞ , etc…) x →+∞ - Les limites par comparaison (théorème de

étant suffisamment proche de a. On note lim f =  ou lim f (x ) =  . a x→a Asymptotes • Asymptote horizontale : lorsque lim f =  ou lim f =  ( réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation y = +∞ −∞ pour asymptote horizontale. • Asymptote verticale : lorsque lim f = + ∞ ou lim f = − ∞ (a réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation x = a a a pour asymptote verticale. • Asymptote oblique : lorsque lim ( f (x ) − (α x + β)) = 0 ou lim ( f (x ) − (α x + β)) =