Asymptote

d'équation z=x est asymptote à Cf en +inf par parité de f la droite d'équation z=-x est asymptote à Cf en -inf 2c)- on trace d'abord les deux asymptotes puis la tangeante horizontale en (0,2). ensuite on trace Cf en faisant bien attention a ce que la courbe Cf se rapproche indéfiniement de ses asymptotes. Il faut éviter des trajectoires tramblantes qui peuvent laisser supposer que vous n'avez pas saisi la signification de ce qu'est une asymptote. - on optient

(resp. lim f (x) = l) x→+∞ x→−∞ Si lim = l (resp. lim f (x) = l), alors la droite d’équation y = l est asymptote à la courbe représentative x→+∞ x→−∞ de f en +∞ (resp. en −∞). La droite d’équation y = l est asymptote à la courbe représentative de la fonction en +∞. 2+x 2 2+x = 1 car = +1 Exemple : lim x→+∞ x x x 2.3 La droite d’équation y = l est asymptote à la courbe représentative de f en −∞. 2 et lim = 0. x→+∞ x limite finie ou infinie d’une fonction en

repr´sentatives Cf et Cg sont dites asymptotes en l’infini si : e lim [f (x) − g(x)] = 0 (ici ∞ d´signe +∞ ou −∞ ). e x→∞ e • Si x→a f (x) = ∞, la courbe Cf admet une asymptote verticale d’´quation x = a. lim Exemple : Consid´rons les fonctions d´finies par: e e f : x → x2 (1 + e−x ) g: x → x2 Cf et Cg sont asymptotes en +∞, car lim (f (x) − g(x)) = lim x2 e−x = 0. x→+∞ x→+∞ Si f est une fonction donn´e, on s’int´resse plus particuli`rement aux droites asymptotes a sa e e e ` courbe repr´sentative

exercices corrigés • On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1 Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point e B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1. exemple d’application Déterminer les asymptotes à la courbe f: x représentative de la fonction : x+3 ln  ------------ .  x – 1 corrigé commenté Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f. x+3 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------

(x) = 2(x−1) 2 On en d´eduit le tableau des variations de la fonction f : x −∞ f ′ (x) 0 − + 0 +∞ +∞ 2 1 − + +∞ f (x) Rq −∞ −∞ Asympt y = x2 + 12 cbe dessous 2 Asympt y = x2 + 12 cbe dessus Recherche des asymptotes ´eventuelles : Je vous rappelle qu’une asymptote en +∞ est une droite d’´equation y = ax + b, telle que f (x) − ax − b tend vers 0 quand x tend vers +∞. De fa¸con informelle, la courbe repr´esentative se rapproche de la droite quand x tend vers +∞. S’il existe une telle

la fonction g définie par g(x)= − ln (x+1). lim g ( x) = −∞ , donc la suite Sn diverge vers −∞. 5) Sn = ln + ln + ... + ln x →+∞ EXERCICE III Partie I 12 − x = +∞ et Xlim ln X = +∞ donc lim f ( x) = +∞ . L’axe des ordonnées est donc une asymptote verticale à la 1. xlim+ →+∞ x →0 →0 x courbe au voisinage de 0.  12 − x   1 x  6 2. f '( x) =  =− 2 12 − x x(12 − x) x La dérivée est négative sur ]0 ;12[ donc la fonction est décroissante sur cet intervalle. 3. ' 1 4. f (4) = ln 2 + 1

primitives su r   .  b. Déteerminer la prrimitive  f  d de  g  sur   qui vérifie  f  0   3.   3 .  2 a. Dressser le tableaau de variatio on de  f  estt montrer que  f  admet une réciproqque.  b. Mon ntrer que  C f  admet une e asymptote  oblique   . c. Traceer  C f ,  C f 1  et   .    Exerciice N°9 : x2  1 , défiinie pour tou ut  x  1,   .  x des primitive es sur  1,   .  1. Montrer quee  f  admet d Soit  f  x      par :   2  n définie sur 

en ∞ d’une fonction : Dans tout le chapitre, l désigne un réel. 1)2)3) Les asymptotes : * Quand limx→ +∞fx=l (respectivement en -∞), on dit que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à Cf en +∞ (respt -∞). * Quand limx→ +∞fx- ax+b=0 (respt -∞), on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à Cf en +∞ (respt -∞). II/ Limites en un réel a - Continuité d’une

ln x = − 3 ou x = e = 3 ; Si X = , ln x = ou x = e 2 = e 2 2  1  S¡ =  3 ; e  e  2 On pose X = ln x , on obtient : X + e 4 ) Etude de : x a ln x Soit f ( x ) = ln x • • Df = ¡ + * lim ln x = − ∞ d’où la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C . x → 0+ x→ + ∞ lim ln x = + ∞ 1 f ' ( x ) > 0 sur ¡ + * x Donc f est strictement croissante sur ¡ + * . Df ' = ¡ + * f '( x ) = • • 3 x f '( x ) f ( x) 0 + +∞ +∞ −∞ x lnx 0,5 − 0, 69 1 0 2

Soit (E) l’équation différentielle : y’ = – 2y + 5 . Résoudre (E) puis rechercher la solution g de (E) telle que g(1) = 0 . Indiquer sans justification le sens de variation de g, l’équation de la droite asymptote à la courbe de g et la position de la courbe de g par rapport à cette asymptote. (E) est de la forme y’ = ay + b avec a = –2 et b = 5 . Fonctions solutions : x Cea x + Les solutions de (E) sont les fonctions : x Ce– 2 x + 2,5 avec C constante. (0,5 pt) La solution g de (E) est telle