Asymptote

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

−1; 0; 2 et 7. Tracer ces tangentes, les asymptotes et la courbe ሺ‫ܥ‬ሻ. ‫ݔ‬ଶ − 3 . ‫2−ݔ‬ On désigne par ሺ‫ܥ‬ሻ la courbe représentative de ݂ dans un repère orthonormal. 1. Déterminer les réels ܽ, ܾ et ܿ vérifiant pour tout ‫: 2 ≠ ݔ‬ ܿ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫+ ܾ + ݔ‬ ‫2−ݔ‬ 2. Etudier la limite de ݂ en 2. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 3. Déterminer les limites de ݂ en −∞ et en +∞. Démontrer que la droite d’équation ‫ 2 + ݔ = ݕ‬est asymptote à ሺ‫ܥ‬ሻ. 4. Calculer la fonction dérivée ݂

en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Limite infinie en un réel a – Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Cas des fonctions usuelles . . . . . . . . . .

soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = l. x→+∞ Ý Ð ¼ On dit alors que la droite D d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en +∞. 1ES - Limites c P.Brachet - www.xm1math.net 1 Remarque : on définit de la même façon lim f (x) = l. x→−∞ Ý Ð ¼ La droite D d’équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe C f en −∞. PROPRIÉTÉ lim 1 x→+∞ x lim 1 x→−∞ x =0 =0 lim 12 x→+∞ x lim 12 x→−∞ x =0 =0 lim 13 x→+∞ x

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

Droites asymptotes Asymptote verticale Lorsqu'on cherche limx→a-f⁡x ou limx→a+f⁡x, il se peut que les valeurs f⁡x de la fonction croissent ou décroissent sans borne. C'est le cas par exemple, de la fonction inverse limx→0-1x=-∞ et limx→0+1x=+∞ dont la courbe représentative, l'hyperbole d'équation y=1x admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x=0. Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle

remarque suivante : Tout devient si simple quand f est paire ou impaire … Ex : x → –∞ x → –∞ lim f ( x ) = lim f ( - x ) x → +∞ lim x ² = + ∞ x → –∞ lim x = - ∞ x → –∞ lim x 3 = - ∞ B ) LIMITE FINIE en + ∞ et en – ∞ ET ASYMPTOTE HORIZONTALE Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel et L un réel donné . Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ∞ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞

Comportement asymptotique des fonctions Exercice 1 (1,5 point) Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur ] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 . Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition. [pic] Exercice 2 (2 points) Déterminer les limites des fonctions suivantes quand x tend vers la valeur donnée :

√ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative Cf d’une fonction f définie ı  sur l’intervalle ] − ∞ ; −2 [ ∪ ] − 2 ; 3 [ ∪ ] 3 ; +∞ [. On a tracé sur le graphique les asymptotes à Cf (droites en pointillés), ainsi que les tangentes horizontales. 1 1 1. À l’aide des indications ci-dessus, déterminer les limites suivantes : a) lim f (x) x→−∞ b) lim f (x) x→−2− c) lim f (x) x→−2+ d) lim− f (x)

affine Chapitre 5 : Fonctions (suite), Variation, limite, continuité Chapitre 6 : Dérivée d’une fonction Chapitre 7 : Applications de la dérivée d’une fonction Chapitre 8 : Fonction exponentielle Chapitre 9 : Fonction logarithmique Chapitre 10 : Asymptote d’une courbe 1 Chapitre 1 Rappels de l’algèbre A. Les nombres réels Les nombres réels constituent l’ensemble des nombres positifs, négatifs ou zéro : autrement dit l’ensemble des nombres entiers, nombres relatifs (fractions ou ratios : nombres