Asymptote

1,1 11 1,5 3 f(x) devient de plus en plus grand [ f ( x ) → ∞ ] . 2. 3. x =∞. x →1 x − 1 Asymptote verticale : x = 1 ; asymptote horizontale : y = 1 . Par conséquent, lim+ a) b) c) d) e) x →∞ lim f ( x ) = 2 lim f ( x ) = 2 x →−∞ x → 2− x → 2+ x →2 lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = ∞ lim f ( x ) n’existe pas. 4. Asymptotes verticales : x = −2 et x = 2 ; asymptote horizontale : y = 2 . Exercice 1.3 a) x →−2 lim ( x 3 + 4 x 2 − 5 ) = ( −2 ) + 4 ( −2 ) − 5 =

ou lim f  x    ou lim f  x    x a  x a  x a  x a  alors la droite D : x  a est une asymptote verticale à Cf . x =a y x O x O Cf Cf lim f  x    lim f  x    x a  x a  y x =a y x =a x =a Cf y Cf x O x O lim f  x    lim f  x    x a  x a  * Si lim f  x   L ou lim f  x   L alors la droite D : y  L est une asymptote à Cf . x  x  y y Cf Cf L x O L x lim f  x   L O lim f  x   L x  x  Page

f , Γ) admet une branche infinie en t 0 lorsque lim x(t) = ∞ ou lim y(t) = ∞. t→t 0 t→t 0 Étude des branches infinies : • Si lim x(t) = ∞ et lim y(t) = y0 , alors on dit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation t→t 0 t→t 0 y = y0 . • Si lim x(t) = x 0 et lim y(t) = ∞, alors on dit qu’il y a une asymptote verticale d’équation x = x 0 . t→t 0 t→t 0 • Si lim x(t) = ∞ et lim y(t) = ∞, alors on étudie la limite en t 0 du rapport t→t 0 t→t 0 y(t) x(t) : – Si lim – Si lim – Si lim

– P(A ( B). Comme les événements A et B sont indépendants, P(A ( B) = P(A)(P(B) = 0,3×0,5 = 0,15. Par suite, P(A ≥ B) = 0,3 + 0,5 – 0,15 = 0,65 . Question 3. On a : φ(x) – (2x – 1) = et = 0. Donc, la droite d’équation y = 2x – 1 est asymptote oblique en +( à la courbe représentative de la fonction φ. Question 4. A = 2 ln Erreur! Signet non défini. + 5 ln 2 + ln Erreur! Signet non défini. A = 2 (ln e – ln 4) + 5 ln 2 + ln 8 – ln e A = 2 – 2 ln 2 2 + 5 ln 2 + ln 2 3 – 1 car ln

ordre, ni toutes posées lors d’un exercice. 1. Etude des limites aux bornes de l’ensemble de définition. ✓ Connaître les méthodes et les théorèmes à utiliser. ✓ Savoir en déduire l’existence d’éventuelles asymptotes. 2. Montrer l’existence d’une asymptote oblique d’équation [pic]. ✓ Montrer que[pic]. 3. Etudier la position de la courbe Cf par rapport à l’asymptote. ✓ Etudier le signe de [pic] et savoir conclure. 4. Etudier les variations d’une fonction

différent de −2 : II. Asymptotes : 1. Asymptote parallèle à l’axe des abscisses : a. Définition : Si lim f (x ) = l ou si lim f (x ) = l , alors la droite d’équation x →+∞ x →−∞ y = l est asymptote (horizontale) à la courbe représentative de f . b. Exemple : Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par : f (x ) = −1 + 1 . x2 Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet en +∞ une asymptote dont on déterminera une équation. 2. Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

dans , des racines de l' équation P(x) = 0 et leurs positions par rapport à a et b dans les cas α et β. ( x − 2) 2 . x −1 c 1) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( x) = ax + b + . x −1 En déduire que la courbe ( ) de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation . 2) Etudier f et tracer ( ) dans un repère orthonormé (O, i, j ) . on considère la fonction numérique f définie par : f ( x) = 3) On considère dans le repère (O, i, j ) la droite (∆) passant par le point

c x→b Alors : lim (fog)(x) = x x→a Asymptotes Asymptote verticale quand lim f(x) = +∞ (1) ou lim f(x) = -∞ (2) x → a+ x → aLa droite d'équation x = a est asymptote verticale à C en +∞ (1) ou/et -∞ (2) • Asymptote horizontale quand lim f(x) = b+ (3) ou lim f(x) = b- (4) x → +∞ x → -∞ La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à C en +∞ (3) ou/et -∞ (4) • Asymptote oblique quand lim [f(x) – (ax+b)] = 0 x → +/-∞ La droite d'équation y = ax+b est asymptote oblique à C en +∞ (ici) ou -∞. • Limite

fonction L'as mptote hori ontale, lorsque . Son quation est y=a. L'as mptote verticale, lorsque . Son quation est x=a. L'as mptote oblique. Si son quation est alors . La hauteur du trait vert, qui repr sente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers z ro lorsque x tend vers l'infini. Principales limites Voici les limites des fonctions les plus courantes: Fonction carr : Fonction cube: Fonction inverse: .cmath.fr/1ere/limites/cours.php 2/5 24/06/12 Limite de fonction

   la courbe représentative de f dans un repère orthonormé  O,i, j  admet au voisinage de  :   une branche infinie parabolique de direction la droite  (O, i )   une branche infinie parabolique de direction la droite  (O, j )  une asymptote horizontale n  sin n  2/ la suite U de terme général Un    , n 1  n   converge vers 0  converge vers 1  diverge   3/ Le plan complexe P est rapporté à un repère direct  O, u, v  l’ ensemble E   M(z)  P / 3  i z  3  i z  est