Asymptote

d´efinie sur IR \ {−1; 1} par : f (x) = repr´esentative dans un rep`ere orthonormal. x3 + 2x2 . On note Cf sa courbe x2 − 1 1. D´eterminer les limites de f en −∞ et en −1. Pr´eciser les asymptotes ´eventuelles. x+2 2. Montrer que pour tout x de IR \ {−1; 1}, f (x) = x + 2 + 2 . x −1 3. Justifier l’existence d’une asymptote oblique ∆ `a Cf . Exercice 3 (Baccalaur´eat France m´etropolitaine, septembre 2007) 23 1 La suite u est d´efinie par : u0 = 2 et un+1 = un + , pour tout entier naturel n. 3 27 a) On

lim f ( x)  0 2. 3. x  4. La droite d’équation y  3 x est asymptote à la courbe C représentative de f quand x   Exercice no 5 En quel(s) points(s) la courbe y  2 x  2 admet-elle une tangente parallèle à l'axe des x abscisses? 1. aucun 2. (2; 3)  3. 1; 2 2 4.   8; 6  Exercice no 6 Soit la fonction f ( x)  x2 1 ex x 1 1. La droite d’équation y  x  2 est asymptote oblique à la courbe C représentative de f quand x   2. La fonction

repère orthonormal, les courbes C 1 et C 2 représentatives de deux fonctions f 1 et f 2 définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 3 C1 2 1 C2 O 1 2 3 4 −1 On sait que : — l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C 1 et C 2 — l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C 2 — la fonction f 2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la fonction f 1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la limite quand x tend vers

d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un point de la courbe à la droite tend vers zéro lorsque le point s'éloigne à l'infini sur la courbe. Équation de la position de la courbe de l'AH : f(x)- AH Équation d'une asymptote oblique : Y = Mx + P Équation pour trouver M : M = lim f(x)

fonction tangente est p-périodique. c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle I = [0 ; 3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0+ et en p. 2 p [. 2 En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on précisera la nature et l'équation. 4. Compléter le tableau suivant : x tan x (On donnera les valeurs exactes) 0 p 6 p 4 p 3 5. Montrer que, pour tout x Î I : tan' x = 1 = 1 + tan2 x cos2 x En déduire le tableau de variations de

U cÔτ Õ 0, 63E Lorsque t τ , la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du g´n´rateur (E). e e 5τ , la tension du condensateur a quasiment atteint E Apr`s de brefs calculs, on peut voir que lorsque t e (quasiment car la droite E est asymptote horizontale ` la courbe). a On peut aper¸evoir une discontinuit´ au temps t=0. c e Tension du condensateur et intensit´ du courant pendant la d´charge en fonction du temps : e e Fiche issue de http://www.ilephysique.net 4 La constante

alors pA(B) = p(B) 3. Si A et B sont deux évènements incompatibles alors p(A) = 1 - p(B) 4. Soit un nombre réel strictement positif -  +  5. La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale une asymptote horizontale une tangente horizontale 6. eln x = x pour tout appartenant à ]0 ; + [ [0 ; + [ 7. Soit un réel a, ln(ea) – 2e + ln(1) = ea – 2e + e ea – 2e a – 2e 8. Soient et des réels strictement positifs, eln a + e - ln

Limite et ordre - Asymptotes Cours CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite

que le point de la courbe représentative de f d’abscisse x est au-dessus du point de la corde de même abscisse. Autrement dit, pour tout x ≥ x1 , on a f (x) ≥ ax + b. Ceci prouve que lim+∞ f = +∞. Exercice 11 - Fonctions convexes admettant une asymptote - L1/Math Sup 1. Supposons qu’il existe un point x0 tel que f (x0 ) < 0. Par définition de la limite de f en +∞, appliquée à ε = |f (x0 )|/2, on peut trouver x1 > x0 tel que f (x1 ) > f (x0 ). D’après l’inégalité des pentes pour les fonctions convexes

on «sépare la fraction» : ( ) 1 = ( )× ( ) ( ) 2-4 Asymptotes x→a • Si lim f (x) = ±∞ alors la droite verticale d’équation x = a est asymptote à C f . • Si lim f (x) = b alors la droite horizontale d’équation y = b est asymptote à C f . x→±∞ x→±∞ • Si lim f (x) − (ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C f . • De façon générale, si lim f (x) − g(x) = 0 alors les courbes C f et Cg sont asymptotes. x→±∞ • Pour déterminer la position relative entre