Base canonique

*Devoir maison 1ère* ES1-ES2 Mardi 8 Décembre 2009 Soit f:R→R Cette forme s’appelle la forme canonique de f(x). En déduire le tableau de variations de f Tracer avec beaucoup de soin, sur papier millimétré, la parabole (P1) qui représente f. Résoudre graphiquement puis par le calcul les équations suivantes : Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation f(x)≥0 _(on fera apparaître sur le dessin toutes les constructions indispensables

P un probl`me de PL (appel´ primal) sous la forme canonique : e e Max z = cx Ax ≤ b x≥0 avec A(m, n), c(1, n), x(n, 1), b(m, 1) alors le probl`me dual est : e Min ω = yb yA ≥ c y≥0 avec y(m, 1) Proposition 1 Le dual du dual est le primal. Rappel : la transpos´e d’une matrice A(m, n) = (ai,j ) est la matrice tA (n, m) = (aj,i). e On a ttA = A et tAB = tB tA , t−A = −tA , si A ≤ B alors tA ≤ tB . On met le dual sous forme canonique : −Max ω = −yb −yA ≤ −c y≥0 puis −Max ω = t−b

fonction affine. 2- Forme canonique : La forme canonique d'un trinôme f (x )=a x 2+b x+c est a (x−α)2+β avec α=− b et β= f (α) 2a Exemple : Déterminer la forme canonique du trinôme f (x )=2 x 2 +4 x−5 a=2 ; b=4 et c=−5 . 4 =−1 2×2 et β= f (−1)=2×(−1)2 +4×(−1)– 5=−7 Alors α=− La forme canonique de f (x ) est donc f (x )=2 ( x+1)2−7 . 3- Étude des variations de f : → a x 2+b x+c f (x )=a x 2+b x+c (forme développée) ou encore a ( x−α)2+β (forme canonique) avec α=− b et β=

symétrie, et f (2) = -1. La courbe représentative extremum qui vaut Èxercice n'3 Soit / -l / admet un : fonction définie sur 1.. Factoriser /(x) la R par f (x) = -2x2 - 5x +3 2. Déterminer la forme canonique de f (x) ( en détaillant les étapes) 3. Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormé (O, l, J) d'unité Ie centimètre. Exercice n'4 : polynômes de degré 2 définies sur R. est strictement positif et celui de g(x) est nul.

Partie 1  1.1  1. Forme canonique disjonctive :  f(a,b,c)=a.b+a.c+b.c   = a.b.(c + c) + a.c(b + b) + b.c.(a + a)   = abc + abc + abc + abc + abc + abc Forme canonique conjonctive :  f (a, b, c) = a.b + a.c + b.c = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c)   = (aa + ac + ab + bc)(b + c) = aab + abc + abb + bbc + aac + acc + abc + bcc = abc + acc + abc + bcc   2. Table de vérité :  A  B  C  ab  ac   bc   f  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  1  1  1  0  1  0  0  0 

SERIE D’EXERCICES 1 Probl`me 1 e a) Forme canonique : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 − 1 x1 3 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 − x+ 2 + 5x+ 2 + x+ 2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 + x− 2 − 5x− 2 − x− 2 , x− 2 ≤ 2 ≤ −2 ≤ 7 ≤ 4 ≥ 0 avec x2 = x+ − x− . 2 2 Forme standard : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 + + 5x2 + x2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 − − 5x2 + x3 − x− + x4 2 , x− , x3 , x4 2 = = = ≥ 2 7 4 0 toujours avec x2 = x+ − x− . 2 2 b) Forme canonique : Maximiser z = 3x1 ¯ s.c. −x1 + 1 − 2 x2

et al. [10]. Nombre d’approches ont vu le jour, chacune visant `a traduire la notion d’indépendance statistique sous une forme algorithmiquement exploitable [1,3,5,8,11]. Parmi elles, certaines ont établi un lien entre l’ICA et la décomposition canonique de tableaux cumulants d’ordre supérieur, proposant alors de nouveaux outils de décomposition tensorielle [1, 3, 5]. Si la s´eparation de sources rencontre un grand succès, c’est en partie d au fait qu’elle trouve sa place dans grand nombre d’applications

5 points) Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1) 9 − x2 =0 x−3 2) ( 3 − 2x )2 ≤ 16 3) 5) (1 − 5x )2 ( 2 + x )2 ≤ ( 2 − 3x ) ( 2 − 3x ) 2x − 3 x + 1 x2 + 3 − = 2 x−3 x x − 3x 4) 3x 2 + 3x − 6 ≤ 0 (il faudra utiliser la forme canonique) 

03.10.2013 EXERCICE 1 Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par : ( ) On désigne par С la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗). Vous justifierez toutes vos réponses. 1. a) Déterminer la forme canonique de f . b) Quelles sont les racines de f ? c) Donner la forme factorisée de f. 2. Donner le tableau de signes de f(x). 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Résoudre a) l’équation ( ) b) l’inéquation ( ) 5. Calculer les coordonnées des

degré 1 (fonction affine). - est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Soit la fonction f définie sur ℝ par : . On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : (x - )2 +  où ,  et  sont des nombres réels. est la forme canonique de f. Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par peut s'écrire