Base canonique

C(q) = 14q. 1. Expliquez pourquoi le nombre C(q) – P(q) traduit la rentabilité correspondant à la fabrication de q machines-outils. 2. On considère la fonction définie sur [0 ;20] par : f(x) = - 2x² + 40x – 102. a) Donner la forme canonique de f. b) En déduire le tableau des variations de f. c) Construisez dans un repère la courbe Cf représentant la fonction f. (Utiliser la calculatrice pour rempli un tableau des valeurs de f). 3. En utilisant la courbe Cf, déterminez

Exercices corrig´ es 2011 – 2012 Classe de Premi` ere S Exercice 1 : D´eterminer la forme canonique des fonctions trinomes suivantes : 1. f (x) = −2x2 + 12x − 14 2. f (x) = 2x2 − x + 1 3. f (x) = 2x2 − x − 1 4. f (x) = 2x2 − x − 15 1 3 5. f (x) = x2 − x − 2 2 1 2 6. f (x) = − x − 2x − 5 5 1 2 7. f (x) = − x + x + 3 3 5 8. f (x) = 3x2 − x + 12 Exercice 2 : R´esoudre les ´equations suivantes : 1. 4x2 + 12x + 9 = 0 √ 1 2. x2 − 2x + = 0 2 √ 3. 3x2 − 6x + 1 = 0 4

parabole. II – Forme canonique Si f est une fonction définie sur ℝ par (avec ), alors f peut aussi se mettre sous la forme : où On appelle cette forme la forme canonique.  Démonstration : On va partir de pour arriver à . Dans un premier temps, calculons :  Exemple : Déterminer la forme canonique de f(x) est de la forme avec La forme canonique de f est avec Calculons : Calculons : La forme canonique de f est donc III

f définie sur [-7 ; 5] par : f(x) = 5x2+4x-1 a)Donner la forme canonique de f . b) En déduire les caractéristiques de la courbe C de la fonction f. c ) Tracer la courbe C. d) Vérifier le 1) (faire apparaître les solutions). e) A partir de a) factoriser f .En déduire une résolution du 1). réponse : 1) on utilise delta = b²-4ac=4²-4x5x(-1)=16 + 20 = 36>0 donc 2 solutions x1 et x2 , qui sont -1 et 0,2 2)a)forme canonique : 5(x+0,4)²-1,8 b)la courbe c de la fonction f est une parabole d'axe

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ² 6 1. Montrer que

Devoir maison de math´ematiques n◦1 Exercice 1 Exprimer chacun des trinˆ omes ax2 + bx + c suivants sous sa forme canonique a(x − m)2 + n : x2 − 4x + 7 x2 − 2x − 6 x2 + 3x + 2 2x2 − 20x + 59 3x2 + 4x + 7 Exercice 2 Factoriser chacun des trinˆ omes suivants : x2 + 6x + 9 x2 + x − 2 2x2 − 10x + 12 3x2 + 13x + 4 Exercice 3 ´ Etudier le signe sur R des fonctions suivantes : f1 (x) = x2 − x − 6 f2 (x) = x2 + 2x + 8 f3 (x) = 2x2 + 4x − 6 f4 (x) = −2x2 − 5x + 3 Exercice 4 R´esoudre les (in)´equations

15/10   1. cherchons l'équation de la parabole sous la forme y=f(x), avec f(x)=ax² + bx + c, où a, b, c sont 3 réels à déterminer : • On a : f(0)=1,5 donc c=1,5 • la forme canonique de la fonction est f(x)=a(x-­‐20)²+4 b = 20 d’où b = −40a 2a • de plus, l'abscisse du sommet est α= − • et en développant la forme canonique, on obtient : f(x)=ax²-40ax+a400+4 • on  en  déduit  que  400a  +  4  =  1,5  d'où   a = € − • • donc   b = −40a = 0,25 conclusion  :  f(x)=-­‐0

Liaison encastrement de centre O. Schéma cinématique spatial. 2 z 1 x y O Liaison pivot de centre O d'axe y. Torseur cinématique associé à la liaison. Lieu de l'espace, ou la forme canonique est conservée. 0 0   V A2 / 1 VO2 / 1 2 / 1 OA 0      0  2 /1     0 0 La forme canonique du torseur est conservée en  0   tout point A de l'espace. O  0 0  O 2 z 1 O y x Liaison glissière de centre O d'axe z. z 2 O Liaison hélicoïdale de centre O d'axe z (pas à

Comment obtenir la forme canonique On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante : f(x) = x2-6x-7 | | | x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2on a (x-3)2=x2-6x+9 d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x) | f(x) = (x-3)2- 9-7 | | | On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2 | f(x) = (x-3)2-16 | | Informations que nous donne cette expression f(x) = (x-3)2-16 pour x=3, on obtient le minimum de la fonction

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)