Base canonique

sont des nombres réels. - La forme canonique : f(x)= a(x-α)² +β. « α » et « β » peuvent être égal à zeros. B] Représentation graphique de la fonction trinome ou polynome du second degrés Une fonction trinome ou polynome du second degrés est representé graphiquement par une parabole avec des branche vers le haut ou vers le bas : - Si on prend la forme dévelloper générale de la fonction polynome du second degrés : « ax²+bx+c » et sa forme canonique générale a(x-α)² + β :

K2 0 A K1 Rampe A p2 ∞ A K1 ∞ Résolution des équations du 1er ordre 3 3.1 Forme habituelle 3.1.1 FTBO Forme canonique : K = 10 τ = K 1+τ p Val en dB 20 1 w45 1 Z2 3.1.2 FTBF K K = 1+K τ = CourbedeN iccholls45degr. 3.2 Avec intégrateur 3.2.1 FTBO Forme canonique : KBO (1+τ p)τ Ne pas suivre les courbes de phase de Nicholls. wn : La courbe commence à 90◦ → On prend la valeur à 90 + 45 = 135◦ , on obtient

degr´ e Enonc´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 P3 (x) = −x 2 + 2x + 5 P2 (x) = x 2 + 3x + 1 P4 (x) = 3x 2 + x − 4 Les polynˆ omes du second degr´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 donc P1 (x) = 2( Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on

appartiennent-ils à f f? ? Exercice 2 Soit la fonction P définie sur ℝ par P(x) = -2x2 - 12 x - 26. 1) Montrer, en développant, qu’une forme canonique de ce polynôme de degré 2 est -2(x + 3)2 – 8. 2) Dresser alors le tableau de variation de P. 3) En déduire le signe de P(x). Exercice 3 On considère le trinôme R(x) = 16 x2 - 192 x + 551. 1) a) Montrer qu’une forme canonique de R(x) est 16(x - 6)2 – 25. b) Dresser alors le tableau de variation de R. 2) a) Montrer qu’une forme factorisée de R(x) est (4x - 29)(4x

second degré. II) Forme canonique 1) Définition et mise en place. Soit la fonction définie sur par un polynôme du second degré. = Comme a  0 , pour tout réel , on a = Or ² Donc = = et enfin = ² 0, ² ² ² ² , avec a ² ² Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme . Exemple 1: Soit = ² – 3 + – Exemple = ² – 3 + ( – )2 – donc + sous forme canonique. et enfin – 2 :

les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1,... ,n est liée. 1.c) Exprimer en fonction de V base canonique de Rn+1 . le déterminant des n +

objets qui doivent ˆtre ´tudi´s d`s le d´but de l’ann´e scolaire. Il s’agit essentiellement, en partant e e e e e e du programme de la classe de Terminale S et en s’appuyant sur les connaissances pr´alables des ´tudiants, e e d’introduire des notions de base n´cessaires tant en math´matiques que dans les autres disciplines scientifiques e e (physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consid´r´s comme d´finitivement ee e acquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il

est basé sur le première partie (“Algèbre Linéaire”) du texte de cours disponible sur la plateforme Sakai (voir 1M005_CoursAlgebre_15.pdf). Les exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement. Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses. Exercice 1. Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R. 1. Exprimer le produit scalaire v · w en fonction des coordonnées de v et de w dans la base canonique B =

e e munit R d’une structure euclidienne dite canonique. D´monstration. C’est imm´diat. e e n PC – Lyc´e Chrestien de Troyes e Espaces pr´hilbertiens r´els et complexes – 3 e e Exemple 1.6 • Plus g´n´ralement, si E est un R-espace vectoriel de dimension finie n rapport´ ` e e e a une base e, alors l’application qui ` un couple (x, y) de vecteurs de E de coordonn´es respectives a e (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) dans la base e, associe n (x |y) = xi yi i=1 est un

` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour e e A ∈ An (R) et S ∈ Sn (R)