Base canonique

= 0 autres fonctions P (x) = x3 + 2x2 − 5x + 3 P (x) = x − 5 f (x) = x2 − 5x + 1 x Définition 2 Une expression de la forme a(x − α)2 + b avec a = 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique. Exemple 2 L’expression P (x) = 2(x − 1)2 + 3 est la forme canonique du polynôme P (x) = 2x2 − 4x + 5.   En effet : 2(x − 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x + 1) + 3 = 2x2 − 4x + 5 = P (x). http://mathematiques.daval.free.fr -1- 2nde ISI Fonctions

Fiche n°1 Trinômes Définition : On appelle trinôme toute expression définie sur ( a, b, c ) ∈ * × × . 1. Forme canonique ⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ P ( x ) = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦ 2 de la forme ax 2 + bx + c avec 2. Résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 . On pose ∆ = b2 − 4ac . P ( x ) s’écrit alors sous la forme : P ( x ) = a ⎢⎛ x + ⎜ ⎢⎝ ⎣ ⎡ 2 b ⎞ ∆ ⎤ ⎟ − 2 ⎥ . On en déduit les 2a ⎠ 4a ⎥ ⎦ résultats suivants : • Si ∆ < 0 , alors S = ∅ . • • Si ∆ = 0 , alors S

+ c s’appelle un trinôme ou un polynôme de 2nd degrès cet écriture es la forme développée et réduite du polynôme. 2. On peut parfois donnée une forme factorisée de ce polynôme. 3. Propriétés : on peut tjr écrire un trinôme sous forme canonique il existe tjr α etβ tel que ax2 + bx + c = a(x- α)2 + β Ex : 3x2 + 3x – 6= 3(x-1)(x+2) = 3 ( x + ½)2 – 27/4 Ax2 + bx + c = ax2 + a x b/ax + c = a(x2 + b/ax) +c = a(x2 + b/ax + b2/4a2 - b2/4a2) + c = a( (x + b/2a)2 - b2/4a2) + c

UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´eviations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆıtre dans une phrase en langage courant. Pour caract´eriser les ´el´ements d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) : | qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ . 1 1.2 Rappels L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui : • Contient tous les nombres r´eels • Est muni d’une addition et d’une multiplication v´erifiant

factorisée, forme canonique Un polynôme du second degré peut être sous forme développée, forme factorisée, ou forme canonique. On appelle forme canonique d’un polynôme du second degré P(x) toute écriture où la variable x n’apparaît qu’une seule fois. La forme canonique d’un polynôme P(x) = ax² + bx + c est P(x) = a ë ê é û ú ù è ç æ ø ÷ ö x + b 2a 2 – b² – 4ac 4a² Exemple Forme développée : A(x) = x² + 8x – 9 Forme factorisée : A(x) = (x – 1)(x + 9) Forme canonique : A(x) = (x + 4)²

ES - Cours M. Delgado Fonctions polynômiale du second degré I Forme réduite et forme canonique 1) Définition Une fonction polynômiale P du second degré, ou trinôme du second degré, est définie sur R et s’écrit sous la forme réduite P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombre réels quelconques avec a = 0. b Une fonction polynômiale P du second degré peut aussi s’écrire sous forme canonique P (x) = a(x −α)2 +β avec α = − . 2a 2) Interprétation graphique Propriété : la représentation

x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple : Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32 On calcule (–b)/2a "et " (-∆)/4a (-b)/2a=(-12)/(2*(-2))=(-12)/(-4)=3

= 9 c = 2 Donc p(x) = ( x – 2 ) ( x2 + 9x + 2 ) III- Polynômes du second degré 1- Ecriture sous la forme canonique f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a (x2 + b x + c ) a a f(x) = a [ ( x + b ) 2 – b2 + c ] 2 a 4 a2 a f(x) = a [ ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c ] 2 a 4 a2 Cette expression est appelée forme canonique d’un trinôme du 2nd degré. 2- Equation du second degré Soit à résoudre : ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 Cette

Contre exemple : a= 0 f(x) = 3x – 2 c'est une fonction affine. 2) Différente formes : Forme développer de f : f(x) : x² – 4x – 5 forme factorisé de f : f(x) = (x +1)(x -5) prouver : (x +1)(x -5) x² - 5x + x -5 = x² - 4x -5 Forme canonique de f : f(x) (x -2 )² – 9 (x -2)² – 9 = x² – 4 – 5 | Rappel : ( A – B )² = A² -2AB + B² | 3) Représentation graphique : x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | f( x) = x² | 0 | -5 | -8

UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´viations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆ dans une phrase en langage courant. e ıtre Pour caract´riser les ´l´ments d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) : e ee | qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ . 1 1.2 Rappels L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui : • Contient tous les nombres r´els e • Est muni d’une addition et d’une multiplication v´rifiant