Base canonique

Activit´ de math´matiques e e Forme canonique d’un trinˆme du second degr´ o e On appelle trinˆme du second degr´ une expression litt´rale de la forme ax2 + bx + c avec o e e a, b, c ∈ R. Factoriser en une ´tape ` l’aide des identit´s remarquables e a e On rappelle les trois identit´s remarquables : e (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b) 2 2 2 (1) (2) (3) a −b = a − 2ab + b 2 2 = (a − b)(a + b) En utilisant dans chaque cas l’une de ces ´galit´s, factoriser chacun des trinˆmes

est : Le minimum de f est : Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = 5. Retrouver la forme canonique de chaque fonction (en développant chaque forme canonique) : ……… = (x + 3)² – 10 ……… = (x – 3)² – 1 ……… = (x – 2)² – 2 ……… = (x – 1)² – 3 6. Quel est semble être le lien entre la forme canonique de chaque fonction et les résultats de la question 4. ? 

ici de trouver l’expression des nombres ` e complexes z solutions de l’´quation : e α z 2 + β z + γ = 0. La m´thode repose sur la r´´criture d’un trinˆme du second degr´ α X 2 + β X + γ avec (α, β, γ) ∈ C3 et α = 0 sous e ee o e forme canonique : α X 2 + β X + γ = α (X + β 2 β 2 − 4α γ ) − . 2α 4 α2 Racines carr´es d’un nombre complexe e D´finition 1 Soit z ∈ C. Une racine carr´e de z est un nombre complexe ω qui v´rifie e e e ω 2 = z. Exemple : 1. z = 0 a pour seule

que f(x) = - (x + 2)(x – 4) | et que f(x) = | 2) Dresser, en justifiant, le tableau des variations de la fonction f. f est un polynôme du second degré. Sa représentation graphique est donc une parabole.C’est la forme canonique de f(x).a = -1 ; α = 1 et β = 9a < 0 donc les branches de la parabole sont tournées vers le bas.α = 1 et β = 9 donc les coordonnées su sommet sont (1 ; 9)D’où le tableau des variations de la fonction f : x | 1

(B + BC)(B + B.C)(B + D) Exercice 6 (table de vérité, forme somme-de-produits et produit-de-sommes) Soit F(x,y,z) définie par sa table de vérité : x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 Z F(x,y,z) 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 Donner la forme canonique (ou standard) conjonctive et disjonctive de F. Exercice 7 (simplification de fonctions) Calculer les compléments des fonctions suivantes : F1 = (a + b)(a + b) F2 = a(c + d) + (a + c)(b + c + d) F3 = abc + abc + a(bc + bc) Exercice 8 (simplification

II – Problèmes du second degré – Equations du second degré  1 ‐ Equations du second degré        a – Définition  Soient  ,  trois réels avec    degré d’inconnue x  0 . L’équation  0  est dite équation du second        b – Forme canonique  0    est appelée la forme canonique de  Démonstration :  2               c – Discriminant  Le réel   4  est noté   et appelé le discriminant de l’équation du second  0                         yosri_prof@yahoo.fr         /                  Tel :23 356 901   

5 Pour s’entraîner avec les outils de 1ère Forme canonique : 1°) Compléter par les nombres qu’il faut : (x + 9)2 = x 2 + 18x + 81 ; x − 72 (3x − 5)2 = 9x 2 − 30x + 25 ; 2 = x 2 − 7x + 49 4 5x + 65 2 36 = 25x 2 + 12x + 25 2°) Mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 3)2 − 12 ; g (x) = 3(x + 1)2 − 2 ; h (x) = −5 x 2 + 12 6 x + 7 = −5 x + x 5 5 2 + 7 71 ; p (x) = −2 x − 5 4 2 − 47 8 3°) Sans développer, mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 1)2 −4 ; g (x) = 2(x + 4)2 −8 ; h (x)

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités remarquables Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique , il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables Exemple Mais il faut aussi savoir factoriser une expression donnée : Exemple Factoriser : On remarque d’abord qu’il y a un « moins » donc il s’agit de l’identité remarquable Ensuite , on associe chacun des termes ( les morceaux) : on voit immédiatement que le « a » correspond au « x »

représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme ou (trinôme) du second degré est une fonction définie sur. Elle peut s’écrire sous la forme f(x)= ax²+bx+c où a≠0,b et c sont trois nombres réels. a) Forme canonique Toute fonction trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme : f(x)= a (x - )²+  = = f( . b) Représentation graphique Le sens d’une parabole dépend du signe du coefficient a. En effet si a > 0 la parabole est tournée

quelconques, avec a = 0. • Une forme canonique pour l’´equation du second degr´e ax2 + bx + c = 0 est une expression dans laquelle n’apparaˆıt qu’une seule fois l’inconnue x. Ex : • x2 + 2x + 1 = 0 est une ´equation du second degr´e (a = 1, b = 2 et c = 1), et x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = 0 est une forme canonique de cette ´equation. • x2 + 2x + 3 = 0 a pour forme canonique x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2 = 0. Exercice 7 Mettre sous forme canonique : Y. Morel R´esolution d’´equations