Base orthonormale

est mis à la disposition du candlidat. 9MA.I1M E1 1t4 EXERCICE 1 : (6 points) Pour la consiruction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de dessus de la piscine), oit (O;i,l) est un repère orthonormal d'unité gfaphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ÂÈ de centre O ei de rayon 3, et dù de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes € etç'. L'axe des abscisses est un axe de syrnétrie de la fioure.

FONCTIONS I- généralités Définition : Une fonction numérique est un outil mathématique qui à tout réel x associe AU PLUS un réel y noté f(x). Quand f(x) existe, f(x) est L’IMAGE de x par f, et x est UN ANTECEDENT de y par f. Exemple : f ( x) = x f(x) x² + 3 . Compléter le tableau suivant : x −1 -2 -1 0 1 2 3 5 x f(x) -2 −7 3 -1 -2 0 -3 1 /// 2 7 3 6 5 7 On constate que 1 n’a pas d’image. On constate que f(2) = 7. Ainsi, L’image de 2 est 7, et 2 est UN antécédent de

correspond au sens positif choisi sur G0 G1 et le signe – dans le cas contraire. Démonstration de la proposition (1.3.) Elle est basée sur la définition du repère de Frenet. Définition 1.6. Repère de Frenet. On définit en chaque point G de G0 G1 une basé orthonormée (t,n,b ) liée à la ligne moyenne avec G de la ligne moyenne, n = RC . t= dOG vecteur tangent unitaire en tout point ds dt vecteur unitaire normal à t nommé vecteur ds normal principal et b = t ∧ n nommé vecteur binormal. Ce

| d) | – (z – 1) | = 2. l° Résoudre dans l'ensemble , des nombres complexes l'équation : z2 – 2 i - = 0 (on pourra poser z = x + i y avec x et y réels ). 2° On note O, A, B et C les points images des solutions dans le plan muni du repère orthonormal (O;¾®, ¾®). Placer ces points sur une figure et montrer que ABC est un triangle équilatéral. Déterminer les nombres complexes tels que : i z + (1 + i) - = 1 = i 2 i z – 3 = z – 4 i 1° a) Déterminer les nombres complexes z tels que les points

fr/examen-sujet.php 2Amath, une exclusivité de Domicours. METROPOLE Exercice 4 : (5 points) Juin 2010 Série S Page 4 sur 7 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O; u ; v ), on considère le point A d’affixe 2 et le cercle c de centre O passant par A. Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe α = 1 + i 3 et α le nombre complexe conjugué du nombre complexe α. 1) a) Démontrer que α2 – 4α = 2

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Arcs paramétrés Préambule Certains auteurs préfèrent à « arc paramétré » la dénomination de « courbe paramétrée ». Dans ce document, nous utiliserons la première dénomination. Définitions Arc paramétré On appelle « arc paramétré » toute application continue d’un intervalle I de affine E de dimension finie : γ :I → E t M (t ) dans un espace Nous nous limitons ici au cas où E est de dimension 2. On rapporte E à un repère ( O, i , j ) et on a alors : M (

|z-a|+|z-b|+|z-c|=MA+MB+MCOA+OB+OC=|a|+|b|+|c| La somme MA+MB+MC est donc minimale pour M=O. III. Cas (presque) général - Données du problème : On se donne un triangle ABC dont aucun des angles ne mesure plus de 120°. On veut trouver un repère orthonormal où les points P, Q et R définis au paragraphe II forment un triangle équilatéral. Notons que dans un tel repère les points A, B et C sont tous d'affixe non nulle (sinon P, Q et R ne sont pas tous trois définis). - Remarque concernant la mesure

( u , −v ) = ( u , v ) + π π v u −u v ( ) u, v π u −v III. Cosinus et sinus d’un angle orienté 1. Définition important Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe i, j , c’est-àdire que i, j = ( ) π 2 (dans une base indirecte, on a i, j = − ( ) π 2 ( ) ) ) Soit un angle de vecteurs et M le point du cercle trigonométrique tel que OA; OM = θ Par définition, on a : cos θ = abscisse de M sin θ = ordonnée de

du produit scalaire, par rapport à l’addition des vecteurs et à leur multiplication par un nombre réel, suit des règles analogues à celles de la « multiplication des nombres » 2.2. Droites du plan. Définition : le plan étant muni d’un repère orthonormal on appelle équation cartésienne d’une droite (d) du plan toute égalité du type ax + by +c = 0 avec a, b et c des réels fixés. Remarques : si M(x ; y) appartient à la droite (d) alors ces coordonnées vérifie l’égalité ax + by + c = 0. On connaît

http://www.mathovore.fr Sections planes de surface . On considère que l’on travaille dans un espace muni d’un repère orthonormal direct I. Le cylindre :  La surface d’équation x²  y ²  R² est la surface de révolution engendrée par rotation 0   autour de l’axe (OZ) de la droite D passant par A(0; R²;0) et de vecteur directeur u  0  . 1    Un cylindre C d’axe (Oz) et de rayon R a pour équation : x²  y ²  R² x²  y ²  R² L’intersection de L’intersection de