Base orthonormale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL AT O Série S IR MATHÉMATIQUES E SESSION 2012 Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BL IG ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. O Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de

torseur {τ }au point P. 2.2. Eléments de r r réduction M La résultante S , le moment en P, P , sont les éléments de réduction du torseur {τ } au point P. on note : r  S  {τ }=  r  MP P UTBM_TN 18_Torseur_A12_diapo 5 2 - Torseur Considérons une base orthonormée directe ( x , y , z ) . r r r r Notons S = X x + Y y + Z z r r r et r r r r M P = LP x + M P y + N P z X, Y, Z, LP, MP et NP sont les coordonnées scalaires en P dans (x , y , z ) r r r du torseur {τ } on note :  X {τ }=  Y  Z P

Les nombres complexes dossier ressources complexes 1 I. Introduction : Du réel à l'imaginaire Un peu d'histoire Au XVIe siècle, l'italien CARDAN lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse EULER utilise la lettre "i" en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë " -1 ". Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut pas être

TD : Fonction Carré Exercice 1 : Compléter le tableau suivant : x 1 -1 2 -3 0.1 -0.01 x² -x² (-x)² 2x Exercice 2 : Soit la fonction f telle que f(x)=x². a) Calculer les images par f de 7 ; -11 ; ; ; ; 2 ; ; ; 2+ . b) Calculer les images par f de -1 et de 1-. Que remarque-t-on ? c) Quel est le nombre k qui a la même image par f que -3+? Calculer l'image de ce nombre k. d) Montrer que l'image de +est un nombre entier. Exercice 3 : a) Sans les calculer

Cours du 02.09 Plusieurs phénomènes de transferts d'électron: Électrisation par frottement et électrisation par contact→on frotte une baguette avec un chiffon ce qui va permettre à la baguette dans un 1er temps d'être attirée par la sphère, car les signes de la boule (+) et de la baguette (-) sont opposés. Dans un 2ème temps, la baguette (-) et la boule (-) vont se repousser, car leurs signes sont les mêmes. Le frottement du chiffon et de la baguette a donc provoqué l'électrisation par frottement

(n + 1)(2n + 1) . 6 ᕡ Calculer u1, u2, u3 et v1, v2, v3. Que constate-t-on ? ᕢ Calculer un+1 en fonction de u et de n. n ᕣ Calculer v n +1 − v n . ᕤ Démontrer que pour tout n, u = v . n n ᕥ Une pyramide d’oranges à base carrée est ainsi consti- tuée : chaque côté du carré de la base compte 15 oranges et les oranges d’un étage sont intercalées entre celles de l’étage inférieur ; le côté du carré compte donc une orange de moins que celui de l’étage inférieur. Combien y a-t-il en tout d’oranges sachant

2nde Exercices de révision : Ch. 8 - Le repérage Exercice 1. ABCD est un carré de centre E. 1. Faire la liste de tous les repères orthonormés ayant pour origine le point E que l'on peut définir avec des points de la figure. 2. Citer plusieurs autres repères orthonormés. 3. a. Lire les coordonnées des points C et D dans le repère (E, A, B). b. Lire les coordonnées des points C et E dans le repère (A, B, D). Exercice 2. 1. Tracer un repère (O, I, J) orthogonal tel que OI = 2 cm et OJ = 3 cm

et passant par A 4 Comment déterminer une équation de la droite orthogonale à une droite connue et passant par un point connu ? xA yA Méthode générale : équation de la droite D orthogonale à la droite D et passant par A dans un repère orthonormal. D’ D A • Si D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées ou à l’axe des abscisses : 1 D admet une équation de la forme y = mx + p et D une équation de la forme y = m x + p avec m = − . Pour déterminer p , m on exprime que les coordonnées

3) = 1 λe−λx d x = −e−λx 3 3 1 = −e−3λ + e−λ = e−λ − e−3λ . Corrigé Métropole S A. P. M. E. P. E XERCICE 4 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Michel Fréchet Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ; u ; v), on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A. α = 1 + i 3 et α son conjugué. 1. a. α2 − 4α = 2α − 8 : α2 − 4α = 1 + i 3 2 − 4 1 + i 3 = 1 + i 3 1 + i 3 − 4 = 1 + i 3 −3 + i 3 = −6 − 2i 3 2α

Durée : 2 heures Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2006 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. A CTIVITÉS NUMÉRIQUES E XERCICE 1 1. On considère les deux expressions : A= 3 1 5 − × 5 2 2 et B= 16 × 10−1 × 2 103 2 12 points × 10−8 × 80 a. Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. b. Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul. c. Brice affirme que « A est l’opposé de B ». Est-ce vrai ? Justifier. 2. On considère