Base orthonormale

+ 2(3t − 3) − 4(t) + 3 = 0 ⇐⇒ −2t + 6t − 4t + 3 − 6 + 3 = 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P3 . Conclusion : P1 ∩ P2 ∩ P3 = ∆ Exercice 2 Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal O ; ı ;  ; k . 8 points 1. Question de cours − Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal →(a, b, c) et un n point M0 (x0 , y0 , z0 ). 2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1)

l’image de A par la translation de vecteur 35. On se situe dans l’espace, A. Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles. B. Deux plans parallèles à une même droite sont parallèles entre eux. C. Un tétraèdre est une pyramide à base carrée. D. Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection. Page 6 sur 11 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons Révisions obligatoires – Mathématiques – Seconde à première 2011 36. On considère la fonction f définie

cisse 0. I I 1 2. Donnez les variations de f' ci-dessous représente f'. 3. Une des quatre courbes Laquel e z I Soittlafonction définie et E la représentation. graphiqt l'intervalle [0 ; 41 oont (O ;ii; est la courbe ' dans un repère orthonormal læ dérivable r D 1 uttlry1u9glg oJ9 z ci-dessous. i c a_ 10 1,/ -2 0 \ \ R tI P \ 5 A' o x nÊntvattot't 

CHAPITRE 9 Produit scalaire ACTIVITÉ (page 215) donc δ = 2AB × BH = 2AB × BC × cos θ. Activité 1 S = AC2 – AB2 – BC2 = CH2 + AH2 – AB2 – (CH2 – BH2) = AH2 – AB2 – BH2. 2 • Figure 1 : AH2 = AB2 + BH2 + 2AB × BH ; • Figure 2 : δ = (AB – BH)2 – AB2 – BH2 = – 2AB × BH. Or, dans le triangle rectangle CHB, BH = BC cos (π – θ) = – B cos θ. Donc : δ = 2AB × BC × cos θ. • Figure 3 : même démonstration. PROBLÈME OUVERT Considérons le repère orthonormé ΂ A ; ai, aj ΃, dans lequel

scalaire Théorème : Dans un repère orthonormal, si a pour coordonnées (x ; y) et a pour coordonnées (x'; y'), alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par : Démonstration : Dans ces conditions, Le vecteur a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc . D'où : Théorème : Si et sont deux vecteurs non nuls, alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par Démonstration : Posons et . Choisissons un repère orthonormal direct tel que et soient colinéaires

que |z| est le module de z. On admet l’égalité |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Partie B Étude d’une transformation particulière − → Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; →, − ), on désigne par A et B les u v points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z = 1, associe le point M d’affixe z tel que : z = 1−z . z−1 1. Soit C le point d’affixe

Bac D 2010 session normale EXERCICE 1 Partie A On considère dans C l’équation (E) : 4z3 6i% 3 z2 3(3 + i% 3 )z 4 = 0 1. Déterminer les racines carrées de 6 + 6i% 3 . 2. Résoudre dans C l’équation 2 z2 (1 + 3i % 3 )z 4 = 0 3.a. Développer, réduire et ordonner (2z + 1) 2z2 (1 + 3i% 3 )z 4 ! ! b. En déduire les solutions de (E). 1 1 + % 3 i ; z2 = 1+ %3 i 4. Soit z0 = ; z1 = 2 2 2 Exprimer chacun des nombres complexes z0 , z1 et z2 sous forme trigonométrique. Partie B Dans

Classe de 1 S 3 Produit scalaire dans le plan. page 1 sur 3 Le plan est rapporté à un repère orthonormal  O , I , J  y  y ' u v 1. Définition: Soit  x et  x ' deux vecteurs du plan. u v u v Par définition on appelle produit scalaire des vecteurs  et  , on le note ⋅ , le nombre réel: u v ⋅ =x x '  y y ' u v Si  = et  = alors le produit scalaire ⋅ correspond au calcul u OM v ON 1  OM 2  ON 2 − MN 2  . 2 C'est donc un calcul algébrique d'aires.

Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) = 0 pour tout i = 1, 2, ..., n. ∂xi Par ailleurs, puisque U est un ouvert, alors il

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A On considère le polynôme P défini sur C par : √ √ √ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2. √ 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0. √ 2. a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 (z 2 + az + b). b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, →, − ). On prendra 2 cm pour unité u v graphique