Base orthonormale

DM 12- 1ère S3EXERCICE 1 : (O ; i , j ) est un repère orthonormé, on considère le point A(1 ;2) et la droite d d’équation x+2y=0. Démontrer que le cercle de centre A passant par O est tangent à d. EXERCICE 2 : (O ; i , j ) est un repère orthonormé, ( C ) est le cercle de centre A(2 ;3) et de rayon 4. La droite d a pour équation y=2x+3. 1) 2) 3) Tracer ( C ) et la droite d. Déterminer une équation de ( C ) Déterminer les coordonnées des points M et N d’intersection du cercle ( C ) et de la droite

cours de mathématiques en terminale . Le produit scalaire I. Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs colinéaires : Définition : soient deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que et et • Si et • Si et • Si . sont de même sens : . sont de sens contraires : ou • alors . . est le carré scalaire du vecteur 2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 : Soient et et deux vecteurs non nuls tels que . Alors : . A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur

Définition 3 → → On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; − u ;− v ). ➤ Au point M de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib, On dit que z = a + ib est l’affixe du point M . → ➤ Au vecteur − w de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib, → w. On dit que z = a + ib est l’affixe du vecteur − ➤ Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu’on se place dans le plan complexe. M

1S4 Devoir maison n°2 de Mathématiques (à rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !) La fonction cosinus : On considère la fonction f définie par f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe   représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j . ( Unités : 1cm pour π 4 en abscisses et 1cm pour ) 1 en ordonnée. 4 1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f . b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) . c) En s’aidant

0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour e e A ∈ An (R) et S ∈ Sn (R), Si M ∈ Mn (R), on a M

objets qui doivent ˆtre ´tudi´s d`s le d´but de l’ann´e scolaire. Il s’agit essentiellement, en partant e e e e e e du programme de la classe de Terminale S et en s’appuyant sur les connaissances pr´alables des ´tudiants, e e d’introduire des notions de base n´cessaires tant en math´matiques que dans les autres disciplines scientifiques e e (physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consid´r´s comme d´finitivement ee e acquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il

; on a  a, b, c   a' , b' , c'  a  a' ,b  b' ,c  c' H car 2(a  a' )  (b'b)  (c  c' )   2a  b  c   2a'b'c'   .0  0  0. Alors H est un sous espace vectoriel de R 3 . III. Famille génératrice – Famille libre - Base. 1. Famille génératrice Définition. Soit E un s.e.v de R n et u1 ,..., u p  E. On dit que u1 ,..., u p est une famille génératric e de E si : X  E, ils existent 1 ,...,  p tels que X  1u1  2u2  ...   p u P . ( X est une combinaiso n

connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base 2. Rôle de

recherche. Le résultat n'est pas forcément l’élément principal de l'évaluation. Les exercices proposés ne sont donc pas nécessairement en lien avec les notions travaillées actuellement. Certains d'ailleurs ne font appel qu'à des notions et acquis de base. Pour d'autres par contre, il vous sera bien utile d'exploiter vos nouvelles connaissances ou compétences. Ces exercices demandent de la recherche, de la prise d'initiative, de l'imagination aussi pourquoi pas, mais aussi de l'organisation et de la

dans un espace pr´hilbertien e e 10 2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases orthonormales dans un espace euclidien ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Suppl´mentaire orthogonal e 14 3.1 Th´or`me fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e e 3.2 Premi`res applications . . . . .