Base orthonormale

Calculer le rang de la famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) 2. Justifier que ces vecteurs forment une famille g´n´ratrice de R3 . e e 3. Extraire de cette famille une base B de R3 , en justifiant votre r´ponse. e 4. Soit v = (−2, 2, 1) un vecteur de R3 , calculer ses coordonn´es dans la base B e 1 Exercice 2 (9 points) On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et w1 , w2 et w3 les vecteurs suivants : w1 = (3, −1, 2), w2 = (−1, 3, 2) et w3 = (1, 1, 2).   f (e1 ) = w1 Soit f l’application lin´aire

y = x − p(x). Il est clair que x = p(x) + y, et comme p(y) = 0, y ∈ ker(p). (b) Considérons une base de E formée par la réunion d’une base de Im(p) et d’une base de ker(p) (on obtient bien une base de E car les sous-espaces sont supplémentaires). Alors la matrice de p dans cette base a exactement la forme voulue. La trace de p (ie la trace de cette matrice) vaut donc le nombre de vecteurs dans une base de Im(p), donc la dimension de Im(p), c’est-à-dire encore le rang de p. 2. Il est clair que Im(pj

I : Soient 3 vecteurs définis dans le repère orthonormé direct B[pic]. [pic] a) Montrer que ces trois vecteurs forment une base B’. b) Donner la matrice de passage de B à B’ . Exercice II : Montrer que les vecteurs[pic]forment une base B’. Déterminer les composantes du vecteur [pic] dans cette base  en utilisant la matrice de passage de la base B [pic]à la base B’. Exercice III : Calculer les produits scalaires des vecteurs :[pic] - Donner la valeur des angles ([pic],[pic]) ; ([pic]

est une base de ) | | | | . 5. ( ) ( ) ( ) Donc ( ) 6. Deuxième partie 1. ( ) ( ) ( ) 56 ( ) Applications linéaires, matrices, déterminants ( ) ( ) ( ( Car ( ) ) ) Pascal Lainé ( ) ( ( [ ], ( ) ( ) ) [ ] et ( ( ( ) [ ] ) ) ) ( ) ( ) [ ] 2. ( ) ( ) ( ) ( 3. Les coordonnées de ) sont ( ) dans la base Les coordonnées de dans la base Les

ee de E = Rn [X]. Mieux c’est une famille de polynˆmes non nuls de E de degr´s ´chelonn´s. o e e e Ainsi (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une famille libre de E de cardinal n + 1 et E est de dimension n + 1. C’est donc une base de E. La famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base de E. (b) • P1 (X) = X donc P1 (X) = 1. Alors P1 (X + 1) = 1 = P0 (X) = P1−1 (X). 1 1 1 X (X − k)k−1 donc Pk (X) = (X − k)k−1 + X (k − 1)(X − k)k−2 . k! k! k! 1 k X − k + (k − 1) X = (X − k)k−2 (k X − k) =

linéaire O : E→F x→O Définition : E* := Homk(E,K) (c’est un espace vectoriel) s’appelle l’espace dual à E. Ses éléments s’appellent des formes linéaires sur E. « qЄE* » signifie donc q :E→K linéaire Exemple : Soit e=(e1,e2, … ,en) une base de E fixée . Si xЄE alors э λ1,…,λnЄK unique tq x=λ1e1+λ2e2+…+λnen λi dépend de x. Notons-le ei*(x) Alors l’application ei* : E→K est linéaire x→ei*(x) E n effet : -si x=λ1e1+…+λnen et x’=λ1’e1+…+λn’en alors

,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1,... ,n est liée. 1.c) Exprimer en fonction de V base canonique de Rn+1 . le déterminant des

devoir est basé sur le première partie (“Algèbre Linéaire”) du texte de cours disponible sur la plateforme Sakai (voir 1M005_CoursAlgebre_15.pdf). Les exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement. Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses. Exercice 1. Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R. 1. Exprimer le produit scalaire v · w en fonction des coordonnées de v et de w dans la base canonique

-d'une part, sur le principe de la numération de position en base 10 - d'autre part, sur les propriétés des opérations dans IN. Par exemple, si on calcule la somme 36 + 55, on a : 36 = 3 x 101 + 6 x 10° 45 = 4 x 101 + 5 x 10° La somme peut donc s'écrire : 36 + 45 = 7 x 101 + 11 x 10° ; Mais lorsqu'on travaille sur la numération en base 10, on ne doit garder que des coefficients inférieurs à 10 pour les différentes puissances de cette base. Ainsi, on doit effectuer la décomposition suivante : 11=

graphismes extraordinaires, et des décors stupéfiants permettent une immersion totale dans le jeu. Nous remarquerons aussi la présence d’un mode multijoueur qui permet à deux équipes (4 nécromorphes incarnés par des joueurs accompagnés de nécromorphes de base dirigés par l’IA vs 4 humains joueurs) de s’affronter ; les humains devant remplir un certain objectif, les nécromorphes étant censés les en empêcher. Je n’ai malheureusement pas eu la chance de tester ce mode :’( mais apparemment, il est excellent