Bijection réciproque

lycée pour les nombres complexes (figure 1.4) : passage de la décomposition (module/argument) à la décomposition (partie réelle/partie imaginaire). ϕ: {(0, 0)} ∪ Ê∗ × [0, 2π[→ Ê2 + (ρ, θ) → (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) Ceci définit exactement une bijection de l’ensemble de départ sur Ê2 tout entier. Pour le calcul d’intégrales doubles, on se restreint généralement à des ensembles plus petits mais ouverts sur lesquels ϕ définit exactement un C 1 -difféomorphisme (cf. chapitre 2). y ρ θ M x

9782100547678-Fresl-part1.qxd 5/07/10 9:31 Page 2 Plan 1. Fonctions usuelles 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 : : : : : : : Raisonnement par analyse-synthèse Étude de fonction Fonctions circulaires réciproques Arctangente Fonctions hyperboliques réciproques Calcul de limite par encadrement Études de fonctions et suites adjacentes 2. Nombres complexes 2.1 : Sommes de cosinus 2.2 : cos(2π/5) 2.3 : Racines septièmes 2.4 : Linéarisation, formule de Moivre 2.5 : Argument

la suite (uk )k≥1 . ii. On suppose maintenant que la suite (un ) converge vers un réel . Déduire de ce qui précède que la suite (vn )n≥1 converge aussi vers . iii. Que peut-on dire de la suite (vn ) lorsque (un ) diverge vers +∞ ? (b) Étude de la réciproque. i. On suppose que la suite (vn )n≥1 converge vers et que = 0. Démontrer que la suite (un ) converge vers . ii. Que peut-on dire dans le cas où un = (−1)n pour tout entier n ≥ 1 ? iii. Que peut-on dire dans cas où un = (c) Lemme de l’escalier et

13 Les valeurs propres des matrices triangulaires sont les coefficients diagonaux. S’il existe un polynôme P tel que P (A) = 0 (polynôme annulateur), alors toutes les valeurs propres de A sont racines de l’équation P (λ) = 0. Attention : la réciproque est fausse. Si P est un polynôme annulateur de A et si P (λ) = 0, alors λ n’est pas nécessairement valeur propre de A, il est impératif de le vérifier à l’aide des vecteurs propres. Si λ est valeur propre de A, alors pour tout entier k, λk est valeur

1. ? Montrer dim(Ker(ui)) = i tant que la suite Ker(ui) i2N n'est pas stationnaire. (e) Soit u 2 L(E ) un endomorphisme nilpotent. On suppose E de dimension nie et dimKer(u) = 1. Montrer que l'indice de nilpotence est egal a dim(E ). Etudier la reciproque. (f) Montrer que si u est nilpotent d'ordre n, il existe3une base de E dans 2 0 1 ::: ::: 0 6 ... . . . . . . . . . ... 7 7 6 6 .. . . . . . . 0 7. laquelle u est represente par 6 . : : : 7 6 5 4 0 ::: ::: 0 1 7 0 ::: ::: 0 0 53. Soit E un K -espace

pour tout sous-espace affine F de E, il existe un point a ∈ E et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que, F = a+F Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un sous-espace affine de E, tandis que la réciproque n’est pas toujours vraie. En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel de E, lel que ∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ x − a ∈ F ⇐⇒ x ∈ a + F Donc F = a + F. Page 7 sur 78 1 M.HOUIMDI

langues humaines. - Si la pensée est antérieure à la parole, elle est indépendante d'elle, donc de la langue dans laquelle la parole se dit : l'antériorité de la pensée sur la parole implique une extériorité réciproque de la parole et de la pensée et donc une extériorité tout aussi réciproque entre la pensée et la langue dans laquelle on la dit. Mais dans ces conditions, on peut donc soutenir que la pensée comme est universelle, que la conception des idées est universelle puisqu'elle ne dépend en

ELÉMENTS DE LOGIQUE 1.1 Opérations Logiques . . . . . . . 1.1.1 La négation ¬ : . . . 1.1.2 La Conjonction ∧ . . . 1.1.3 La Disjonction ∨ : . . . 1.1.4 Règles de De Morgan . . . 1.1.5 L’Implication =⇒ : . 1.1.6 La contraposée. . . . . . 1.1.7 La réciproque . . . . . . . 1.2 Propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ELÉMENTS DE LOGIQUE 1.1 Opérations Logiques . . . . . . . 1.1.1 La négation ¬ : . . . 1.1.2 La Conjonction ∧ . . . 1.1.3 La Disjonction ∨ : . . . 1.1.4 Règles de De Morgan . . . 1.1.5 L’Implication =⇒ : . 1.1.6 La contraposée. . . . . . 1.1.7 La réciproque . . . . . . . 1.2 Propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

particulières. Les fonctions hyperboliques Fonction hyperbolique Dérivée sinh x  ex  e x 2 x e  e x cosh x  2 x e  e x tanh x  x  x e e  sinh x  '  cosh x  cosh x  '  sinh x  tanh x  '  1  tanh2 x  1 cosh2 x et leurs réciproques, les fonctions arguments hyperboliques sont souvent utiles. Fonction argument hyperbolique argsinh x   sinh x  1  ln x  x2  1 2 arg cosh x   cosh x  1   ln  x   x 1  Dérivée  argsinh x  '   arg cosh