Bijection réciproque

usuelles Exercice 28. Résoudre dans R l’équation (E) : ln ( x+ 3 4 ) = 1 2 (ln(x) + ln(3)). Correction no 28. Le domaine de définition de l’équation (E) est ] 0 ; +∞ [. Soit x ∈ ] 0 ; +∞ [. (E)⇔ ln ( x+ 3 4 ) = ln( √ 3x)⇔ x+ 3 4 = √ 3x car ln est une bijection. (E)⇔ (x+ 3)2 = 16× 3x car tout est positif (E) ⇔ x2 − 42x + 9 = 0, et si on veut des calculs faisables de tête, ∆ = 422 − 4 × 9 = (2× 3× 7)2 − (2× 3)2 = (2× 3)2(72 − 1) = 62 × 48 = 62 × 16× 3 = 242 × 3 donc (E)⇔ x = 42± 24 √ 3 2 ⇔ x = 21± 12 √ 3

on pose X = [a, b]. Soit f : X → R une fonction deux fois dérivable telle que : ∀x ∈ X, f (x) > 0. On dit que f est strictement convexe sur le segment [a, b]. a) Montrer que la dérivée de f établit une bijection du segment [a, b] sur un segment [α, β] (avec α < β). On notera u la bijection réciproque. b) Soit m un réel quelconque. En étudiant les variations de ϕm,f , montrer que m ∈ X o , puis déterminer le réel f o (m). [On sera amené-e à distinguer des cas ; pour m ∈ [α, β], on exprimera f o (m)

Exercices 31 32 34 35 35 35 Chapitre 5. Fonctions usuelles 1. Logarithme népérien 2. Fonctions logarithmiques 3. Exponentielle 4. Fonctions exponentielles 5. Fonctions puissances 6. Fonctions hyperboliques 7. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques 8. Exercices 41 41 42 42 43 44 44 45 47 Chapitre 6. Intégral de Riemann 1. Intégral des fonctions en escalier 2. Intégral des fonctions continues par morceaux 2.1. Propriétés 2.2. Sommes de Riemann 3. Intégration et dérivation 4. Calcul des primitives

. . . . . . . . . 195 27. Comment compléter un carré latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 28. Le problème de Dinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 29. Identités et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Théorie des graphes 225 30. Cinq-coloration des graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 31. Comment surveiller un musée

application. b) Montre que f est injective et surjective c) En déduire que f est bijective. d) Définir explicitement la bijection réciproque f-1 e) montre que fof-1(x)=x et f-1of(x) = x Activité 8 . Soit IR\{2}→IR\{5} , xI→ H>@I >@ 1) Montre que f est une application bijective. 2) Détermine l’image directe de l’intervalle E=[-3 ; 1] noté f([-3 ; 1]) Détermine l’image réciproque de l’intervalle [ 1 ; 3] noté f-1([1 ; 3]). SEQUENCE 5/ LIMITE ET CONTINUITE – DERIVATION Activité 1 Melon s’intéresse

calcul). γ) Relations avec la multiplication externe . A ∈ Mnp (K) , B ∈ Mpq (K) A (λB) = (λA) B = λAB PROP : si λ∈K COROLLAIRE : (Mn (K) , +, .(int.)) est un anneau. Cet anneau n’est ni intègre, ni commutatif dès que n ........... → .......... la bijection est un isomorphisme d’anneaux. ........... → .......... D6 2 ; de plus, III) STRUCTURE DE K-ALGÈBRE (HORS PROGRAMME). DEF : soit E un ensemble muni de 2 lois de composition internes de composition externe à opérateurs dans K + E2 → E (x, y) →

l’infini, on se limite à une infinité dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est dit dénombrable si il existe une bijection entre E et l’ensemble N des entiers positifs: l’ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable, le segment [0,1] ne l’est pas, comme nous l’avons vu en première année. Finalement, ce point délicat: "on ne considère pas nécessairement tout sous

Soient X et Y des ensembles et f : X −→ Y une fonction. On dit que f est injective (ou 1-1) lorsque (f (x) = f (y)) → (x = y). Si Imf = Y , on dit que f est surjective (ou onto). Une fonction qui est injective et surjective à la fois est dite une bijection. 2.0.18 Relations d'équivalence 2.2.2.0. Dénition Soient E un ensemble et R une relation sur E . On dit que R est une relation d'équivalence sur E lorsqu'on a : a. (x, x) ∈ R pour tout x ∈ E , b. si (x, y) ∈ R, alors (y, x) ∈ R, c. si (x

total. On pourra commencer par le cas où l’ensemble sous-jacent est fini. Théorème de Cantor-Bernstein Soient f : X → Y et g : Y → X deux applications injectives. Construire à partir de f et g une bijection entre X et Y. indication. Considérer les suites définies par X0 = X f (Xk ) ; voir que f est une bijection de Xk sur Yk . 1 g(Y), Xk+1 = g(Yk ) et Yk = 2 colles de mathématiques Formule du crible Soit (Xi )i I une famille finie de parties d’un ensemble fini X. Montrer que card i I Xi = J⊆I

si lim = 1. x→a g(x) √ 1. Déterminer si les fonctions f (x) = x+ x et g(x) = x−3 sont équivalentes ou asymptotes en +∞. 2. Supposons lim g(x) = +∞ (par exemple). Montrer que si f et g sont asymptotes en a, x→a alors elles y sont équivalentes. La réciproque est-elle vraie ? 16 2. Suites numériques 2.1 Récurrence 2.1.1 Démonstration par récurrence Théorème (de récurrence). Soit n0 ∈ N. Soit Pn une proposition avec n ∈ N et n Supposons que : • (initialisation) Pn0 est vraie ; • (hérédité) pour