Bijection réciproque

{±∞} si lim x→a g(x) √ 1. Déterminer si les fonctions f (x) = x+ x et g(x) = x−3 sont équivalentes ou asymptotes en +∞. 2. Supposons lim g(x) = +∞ (par exemple). Montrer que si f et g sont asymptotes en a, x→a alors elles y sont équivalentes. La réciproque est-elle vraie ? 18 2. Suites numériques 2.1 Récurrence 2.1.1 Démonstration par récurrence Théorème (principe de récurrence). Soit Pn une proposition dépendant de n ∈ N. Soit n0 ∈ N. Supposons que : • (initialisation) Pn0 est vraie ; •

de S. Il s’agit ici d’un sous-ensemble de S comportant n éléments distincts pour lequel l’ordre n’intervient pas. Le nombre de telles sous-populations est égal au nombre d’échantillons de taille n (sans remise) divisé par n ! qui est le nombre de bijections d’un ensemble à n éléments, soit : AN n N! card ( Ω ) = ------ = ---------------------------- = C N n! n ! (N – n) ! n (20) Ce nombre est aussi appelé le nombre de combinaisons de n éléments parmi N avec 0 n N . Ce sont les coefficients de

x→α Continuité Définitions et théorèmes ∗ Si f est continue en a : lim f (x) = lim f (x) = f (a) x→a − x→a + . ∗ Si f est dérivable en a ∈ I , alors f est continue en a. ∗ Si f est dérivable sur I , alors f est continue sur I . Remarque : la réciproque est fausse, une fonction continue n’est pas toujours dérivable. 8 2 LES FONCTIONS Fiches de Mathématiques Démonstration (ROC) toute fonction dérivable est continue f est dérivable en a signifie que, lim x→a f (x) − f (a) x −a = f ′ (a)

avons recette marginale égale coût marginal : p(q) + p ′(q)q Ce qui implique : = CT ′(q) Recette marginale Coût marginal p(q) − CT ′(q) p ′(q)q p(q) + p ′(q)q CT ′(q) = ⇒ =− . p(q) p(q) p(q) p(q) Comme la fonction de demande inverse est la réciproque de la fonction de demande, nous avons : 1 p ′(q) = ′ . D (p(q)) 7 En conséquence, nous avons : p ′(q)q = p(q) 1 p D ′(p) D(p) où ε est l’élasticité prix (directe). En conséquence, nous avons : p − CT ′ p 1 = , ε 1 = − . ε Indice de Lerner

fonctions usuelles . . . . . . . . . 1.6.7 Exemple de calculs de d´eriv´ees . . . . . . . . . 1.6.8 Exemple de calculs diff´erentiels . . . . . . . . . 1.6.9 Notation diff´erentielle en physique . . . . . . . 1.7 Notion de fonctions inverses ou reciproques . . . . . . 1.7.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 R´esultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 D´eriv´ee et graphe de f −1 . . . . . . . . . . . . 1.8 Rappels sur l’´etude d’une fonction . . . . . . .

aspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calcul d’aires (ou de volumes) ; cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure qui constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi le rôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale

à la position ).,X pour rendre cette dernière acceptable est proportionnellement plus petit que le montant qu'il faut ajouter à la position X pour rendre ce dernier acceptable. Remarque 1. Il est clair qu'une mesure cohérente est convexe. La réciproque est fausse. La cohérence est la notion qui se rapproche le plus de notre intuition. C'est pourquoi cette définition est apparue en premier historiquement. On s'est aperçu ensuite que les principaux résultats de la théorie des mesures cohérentes

(1) si et seu3 lement si G = O. Si G = O, c’est-à-dire si le centre de gravité G de ABC est confondu avec le centre O du cercle circonscrit à ABC, alors les médiatrices et les médianes du triangle ABC sont confondues, donc ABC est équilatéral. La réciproque est évidente. On conclut que (x,y,z) est solution de (1) si et seulement si le triangle dont les sommets ont pour affixes ei x , ei y , ei z est équilatéral. Autrement dit, l'ensemble des solutions de (1) est : 2π 4π +2kπ, x + +2 π ; (x,k, ) ∈

⎞ ⎝ 2⎠ π π π = sin ⎛ ⎛ x + n -- ⎞ + -- ⎞ = sin ⎛ x + ( n + 1 ) -- ⎞ . ⎝ ⎝⎝ 2⎠ 2⎠ 2⎠ Conclusion : π ∀n ∈ ∗ , ∀x ∈ , sin( n ) x = sin ⎛ x + n -- ⎞ . ⎝ 2⎠ La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; +∞[, donc elle définie une bijection de [0 ; +∞[ sur f ( [0 ; +∞[ ) = ]0 ; 1]. Conclusion : ∀x ∈ [ 0 ; +∞ [ , f ( x ) ∈ ]0 ; 1 ]. 2) On a, ∀n ∈ , u n = f ( n ). Or ⊂ [0 ; +∞[, donc d’après 1) , ∀n ∈ , u n ∈ ]0 ; 1]. un 1 ». 48 Soit la propriété P n : « 0 – Hérédité : 0 ⇒ –1 –un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .