Bijection

Ker A − λ I . La dimension 3 Y X +Y de Eλ est alors dim(Ker(A + λ I)) + dim Ker A − λ I . 3 Dans tous les cas, dim(Eλ (M)) = dim(E−λ (A)) + dim(Eλ /3 (A)) (et en particulier dim(KerM) = 2dim(KerA)). Comme les applications λ → −λ et λ → λ sont des bijections de C sur lui-même, 3 A est diagonalisable ⇔ ⇔ ⇔ λ ∈C ∑ dim(Eλ (A)) = n ∑ dim(Eλ (A)) + ∑ dim(Eλ (A)) = 2n λ ∈C λ ∈C λ ∈C ∑ dim(E−λ (A)) + ∑ dim(Eλ /3 (A)) = 2n λ ∈C ⇔ M est diagonalisable. 15 Correction de l’exercice 14 −X

est la solution de l’équation f (x) = n (premier cas) ou encore, xn est la solution de l’équation fn (x) = a (deuxième cas). Le deuxième cas est plus difficile à traiter en général. Existence de la suite On utilise généralement le théorème de la bijection ; on montre donc que f ou fn est continue strictement monotone ce qui assure l’existence d’une unique solution à l’équation et qui définit donc entièrement la suite. Limite d’une suite implicite On montre en général que la suite est monotone bornée

−→ P(xi ) Notons β(E) resp. β(E ∗ ) l'ensemble des bases de E (resp. E ∗ ). Le Th. - Déf. p. 16 permet de définir une application d : β(E) −→ β(E ∗ ) qui, à chaque base B B −→ B∗ ∗ de E associe sa base duale B . Nous allons montrer que d est une bijection. ni Mo er A n ie re Monie lgèb r éom é bre G r Algè onier étr ie M éom onier èbre M r Alg G Mo n ie Mo tr i e Géomé Existence d’au moins une base en dimension finie, cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.4 Th. - Déf. 1. a) Le K-ev E admet au moins

0 30 45 60 90 180 360 2π 5. Donner une formule permettant la conversion degr´-radian. e 0 39 Terminale S3 2008/2009 Chapitre 2 Transformations du plan 1. D´finition e ´ Definition 6: Transformation Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-mˆme. e Dire que f est une transformation du plan P signifie donc que : • Tout point M de P a une image et une seule M par f (on dit alors que f est une application de P dans P), • Tout point M de P a un ant´c´dent unique M par

le même sens mais des noms différents). 2- Des polysémes : Un même nom désigne deux (02) réalités distinctes (informations ayant le même nom mais de sens différent). Remarque : On supprimera les synonymes et les polysémes de façon à établir une bijection entre l’ensemble des signifiants et celui des signifiés. 71 Etude Conceptuelle REEL PERCU N0 ordre 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 code Coupure Couleur Code

(θ). On prolonge a R la fonction e ` cos par parit´ et 2π p´riodicit´, et la fonction sin par imparit´ et 2π-p´riodicit´. e e e e e e 12 La fonction qui a θ ∈ [0, π] associe le nombre complexe du demi-cercle unit´ z = eix e est une bijection de [0, π] sur le demi-cercle. Son extension ` R n’est pas bijective mais a conserve la propri´t´ ee eiθ = cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 . ∀θ ∈ R , Elle a de plus la propri´t´ fondamentale suivante. ee Th´or`me 8. Pour tout θ, θ ∈ R, on a ei(θ+θ

la solution de l’équation f (x) = n (premier cas) ou encore, xn est la solution de l’équation fn (x) = a (deuxième cas). Le deuxième cas est plus difficile à traiter en général. Existence de la suite On utilise généralement le théorème de la bijection ; on montre donc que f ou fn est continue strictement monotone ce qui assure l’existence d’une unique solution à l’équation et qui définit donc entièrement la suite. Limite d’une suite implicite On montre en général que la suite est monotone bornée

0, s ≥ 0,t + s ≤ 1} et Φ = (ϕ, ψ) une application de classe C2 au voisinage de ∆0 , à valeurs dans R2 , telle que dΦ(t, s) soit inversible en tout point de ∆0 et de jacobien strictement positif en tout point. On suppose aussi que Φ réalise une bijection entre ∆0 et Φ(∆0 ). Si ω = Pdx + Qdy est une 1-forme de classe C1 au voisinage de Φ(∆0 ), vérifier la formule de Stokes (ou de Green-Riemann puisque l’on est ici en dimension 2) : Φ(∆0 ) d[Pdx + Qdy] = = := = Φ(∆0 ) Φ(∆0 ) Φ(∆0 ) Φ(∆0 ) d[Pdx

permet d'obtenir un paquet de cartes désordonnés : Erreur. La théorie des groupes finis permet d'affimer que : en appliquant un certain nombre de fois le même mélange, nous retomberons sur la position de départ. Mathématiquement, un mélange est une bijection d'un ensemble fini dans lui-même. 2. Préliminaire Nous simulerons un jeu de cartes par une liste d'entiers naturels consécutifs. Exemple de construction : Clearjdc jdcnb : Tablei, i, 1, nb Il sera utile de déterminer la position

1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x. Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A ! A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le r´esultat persiste-t-il si A est infini ? 1 2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ? Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n. Ex. 6 Supposons qu’un plan d’´epargne soit r´emun´er´e 5% par an, et que les int´erˆets acquis `a la fin de chaque ann´ee viennent s’ajouter au capital. Au bout de combien