Bijection

fonctions logarithmes Définitions Parmi les propriétés vérifiées par les fonctions exponentielles, on a noté la propriété suivante : quelque soit la base a que l’on se fixe, on a ax = ay ⇔ x = y. Cela signifie que la fonction [x → ax ] est une bijection. Autrement dit, pour tout nombre positif y, il existe un unique x ∈ R tel que y = ax . C’est ce nombre x que l’on appelle le logarithme en base a de y, que l’on note loga (y). Ainsi, x = loga (y) ⇔ y = ax . Ainsi, dire que 25 = 32 revient à dire

même couleur : Cette fois, à partir d'une k -coloration de ce type, la contraction de e permet d'en déduire une k -coloration de G · e, la couleur commune étant attribuée au nouveau sommet. A nouveau, ce procédé d'association est manifestement une bijection de l'ensemble des k colorations de G \ e de ce type sur l'ensemble des k -coloration de G · e, ce qui assure que le nombre de k -colorations de G \ e dans ce deuxième cas est égal à R(k). On en déduit donc que : Q(k) = R(k)+ nombre de k -colorations

fonctions logarithmes Définitions Parmi les propriétés vérifiées par les fonctions exponentielles, on a noté la propriété suivante : quelque soit la base a que l’on se fixe, on a ax = ay ⇔ x = y. Cela signifie que la fonction [x → ax ] est une bijection. Autrement dit, pour tout nombre positif y, il existe un unique x ∈ R tel que y = ax . C’est ce nombre x que l’on appelle le logarithme en base a de y, que l’on note loga (y). Ainsi, x = loga (y) y = ax . ⇔ Ainsi, dire que 25 = 32 revient à dire

x2 − x1 − u(x2 ) − u(x1 ) ≤ f (x2 ) − f (x1 ) ≤ x2 − x1 + u(x2 ) − u(x1 ) , (1 − k) x2 − x1 ≤ f (x2 ) − f (x1 ) ≤ (1 + k) x2 − x1 . Il en r´sulte que f est injective et (1 + k)-lipschitzienne, et que f (x) ≤ (1 + k) x . e Par suite f est une bijection de B(0, r) sur son image V , et V = f (B(0, r)) ⊂ B(0, (1 + k)r). e On consid`re maintenant un rayon r < r quelconque, et pour y ∈ Rm donn´, on e introduit l’application ϕ(x) = y + x − f (x) = y − u(x). De mˆme que u, c’est une application

cônes (de sommet O) polyédriques de dimension 1 à n. L'ensemble des °(f, P), pour tout f∈ P , donne une partition de ên\ 0 , formée de cônes polyédriques ouverts. N F Propriété 7 : Etant donné un polytope P, l'application qui à f associe une bijection entre (P) et les cellules du faisceau de normales (P): F N A chaque i-face de P correspond une (n-i)-cellule de n-1. (Voir figures 6 et 7) N(f, P) est N (P); pour i = 0,..., Propriété 8 : Soient f et g deux faces d'un polytope P. Si f est incluse

conclut en remarquant que : gn (2n − 1 − i) = gn (2n − 1 − i − 1) ⊕ 2b(2 n −1−i) et b(2n − i − 1) = b(i + 1) = b(r + 1). ✷ On en d´eduit par exemple que gn (2n − 1) = 2n−1 + gn (0) = 2n−1 . Proposition 7 Si n mˆeme. 1, la fonction gn d´efinit une bijection de [0, 2n − 1] dans lui- D´emonstration : nous allons raisonner par r´ecurrence sur n. Nous venons de voir que g1 et g2 satisfont la propri´et´e. Supposons-la donc vraie au rang n 2 et regardons ce qu’il se passe au rang n + 1. Commen¸cons par remarquer

RATIONNELLE – BSO(k)0 = i=1 K(Q, 4i) k −1 2 si k est impair ; – BSO(k)0 = K(Q, k) × i=1 K(Q, 4i) si k est pair. Si X est un CW-complexe, l’ensemble [X, BSO(k)0 ] des classes d’homotopie d’applications de X dans BSO(k)0 est donc en bijection naturelle avec k−1 2 – i=1 H 4i (X; Q) k −1 2 si k est impair ; – H k (X; Q) ⊕ i=1 H 4i (X; Q) k si k est pair. La colimite BSO = hoco lim BSO(k) admet pour rationalisation → BSO0 = i>0 K(Q, 4i). Définition 3.3 Deux

strictement supérieure à 1 sur ]0;1[ . Donc l'équation f ( x ) = 0 n'a aucune solution dans cet intervalle. Par contre, la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [1; +∞[ , passant de 2 à −∞ . Par conséquent, f est une bijection de [1; +∞[ dans ]−∞; 2] . Donc 0 ∈ ]−∞; 2] a un unique antécédent α dans [1; +∞[ par la fonction f. Conclusion : l'équation f ( x ) = 0 a une unique solution α dans l'intervalle ]0; +∞[ . La fonction f est strictement positive sur l'intervalle ]0;1[

taux de cotisation par unit´ de temps. Ici u e en pratique on supposera que C est une fonction continˆment d´rivable u e de d´riv´e born´e inf´rieurement par une constante strictement posie e e e tive (ce qui garantit au passage l’existence de sa bijection r´ciproque e −1 que nous noterons C ). Privault et Wei [156] avaient utilis´ des techniques du calcul de Male liavin sur l’espace de Poisson pour calculer la sensibilit´ de la probabie lit´ que la r´serve terminale soit strictement n´gative e e e

dans ce module pour mettre en place différents types de raisonnement (par l’absurde, par la contraposée, par récurrence, par contre exemple …). Prolongements : Racines n-ièmes, Représentations du plan complexe (Bode, Nyquist, etc.), Concept de bijection, Codes correcteurs d’erreurs, Calcul de travail, moments, volumes. Mots-clés : Polynôme, fractions rationnelles, trigonométrie, nombres complexes. PPN Génie Electrique et Informatique Industrielle publié par arrêté du 24 juillet 2008 Programme