Bijection

par : MM ' = u On écrit : t → (M) = M’ u → → → → Si u = 0 on a MM ' = 0 , donc la translation se confond avec l'identité du plan. b - Propriétés Une translation de vecteur non nul n’admet pas de points invariants. La translation est une bijection : tout point du plan a une image unique et un seul antécédent. La composée de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs des translations composantes : t→ o t→ = t→ → v u u + v 2° Symétries a - Symétrie

cette partie. Commençons par vérifier que les fonctions de la forme (22.3) sont injectives. Proposition 22.81. Soient a, b, c, d dans C. On suppose que c = 0 et ad − bc = 0. Soit f la fonction définie par f(z) = (az + b)/(cz + d). Alors f réalise une bijection de l’ensemble C \ {−d/c} sur l’ensemble C \ {a/c}. On a donc w= Preuve. Compléments az + b ∈ C \ {a/c} cz + d ⇔ z= wd − b ∈ C \ {−d/c} −cw + a (22.4) Montrons d’abord que f prend bien ses valeurs dans C \ {a/c}. Supposons en effet

(i) Etudier et représenter graphiquement sur [0, +∞[ la fonction x a xe− x . Comparer les images des nombres a et ar ( a ) par cette fonction. (ii) En déduire que la fonction ϕ , définie pour 0 ≤ x ≤ 1 par ϕ( x ) = xe − x ,  1 réalise une bijection de [0,1] sur 0,  . Citer les propriétés de sa  e fonction réciproque ϕ−1 et dresser le tableau de variation de ϕ−1 . 1 (iii) Prouver que r (a ) = ϕ−1 (ae − a ) , puis déterminer la limite de r ( a ) en +∞ . a c) On étudie maintenant la

surtout les commenter. Une explication alambiquée doit être remplacée par un schéma et une explication plus synthétique. On ne présente dans un tableau que les éléments qui sont utiles pour le commentaire dans le texte. Il doit toujours y avoir bijection entre le texte du rapport et son iconographie (l'un explique et met en valeur l'autre et réciproquement). N.B. : on peut faire la même remarque pour la bibliographie, les équations et les notations et symboles utilisés. L'emploi de la couleur

sans objection justifiée contre x } Pour un nombre réel x, notons x = min {n ∈ N | n ≤ x } et x = max {n ∈ N | x ≤ n}. 5.3 Choix social et mécanisme du pouvoir Généralités Dans ce paragraphe, nous admettons que pour tout i ∈ N, Ri est une bijection de A dans Y. Dans ce cas, nous notons L( A) l’ensemble des préférences sur A. Soit H : L( A) N −→ P ( A) une correspondance de choix social. On dit que Q N est déduit de R N par une amélioration de x si pour tout i ∈ N et pour tout y ∈ A : x Ri y

ce qui montre que donc f est bijective si F = IR\{1} et l’inverse de f est : f −1 : IR\{1} −→ IR\{2} 5 + 2y y −→ y−1 2 Remarque 2.5 Il est clair que si f est bijective, il en est de même de f −1 et on a (f −1 )−1 = f . On dit que f est une bijection entre E et F et que E et F sont deux ensembles équipotents. Proposition 2.3 Soient f : E −→ F et g : F −→ G, alors 1. (f injective ) ∧ (g injective ) =⇒ (g ◦ f injective ). Le Cours d’Algèbre. -26Par M. Mechab M. Mechab 2.2 Applications et

on aura le plus souvent recours au calcul d’une primitive. On pourra aussi utiliser d’autres m´ thodes, par exemple, e l’int´ gration par parties ou le changement de variable. On a en particulier : e Th´ or` me 2.20. Soit φ :]α, β[→]a, b[ une bijection continument d´rivable strictee e ˆ e ment monotone et f :]a, b[→ R une application continue. Alors l’int´grale e converge si et seulement si β b a f (x)dx f (φ(t)φ (t)dt converge et dans ce cas α β (2.6) α φ(β) f (φ(t))φ

Grenoble w u p(u) −w F s(u) G Figure 2 – Somme directe E = F ⊕ G, projection sur F , et symétrie par rapport à F . d’où le résultat. La projection sur F parallèlement à G a pour image F et pour noyau G. La symétrie est une bijection de E sur lui-même : c’est un automorphisme de E. La proposition suivante caractérise les projections et les symétries, indépendamment de la décomposition en somme directe. Proposition 11. Soit E un espace vectoriel. 1. Un endomorphisme p de E

IR\{2}; y−1 y = f (x) donc f est bijective si F = IR\{1} et l’inverse de f est : f −1 : IR\{1} −→ IR\{2} 5 + 2y y −→ y−1 ✷ Remarque 2.5 Il est clair que si f est bijective, il en est de même de f −1 et on a (f −1 )−1 = f . On dit que f est une bijection entre E et F et que E et F sont deux ensembles équipotents. Proposition 2.3 Soient f : E −→ F et g : F −→ G, alors 1. (f injective ) ∧ (g injective ) =⇒ (g ◦ f injective ). Le Cours d’Algèbre. -26- Par M. Mechab 2.2 Applications et Fonctions

v Définition 1.1.16 (Affixe d’un point) On dit que le point M , de coordonnées (x, y), a pour affixe le nombre complexe z lorsque z = x + iy. On peut donc établir une bijection entre l’ensemble des nombres complexes et l’ensemble des points du plan, dès que le plan est muni d’un repère. Le point d’affixe z est l’image de z par cette bijection. Ceci permet de représenter les nombres complexes à l’aide de points, de « faire un dessin ». − − − − Définition 1.1.17 (Affixe d’un vecteur) Considérons le vecteur →