Cautionnement Réel

coordonnées cylindriques de M par rapport à R tout triplet de réels (r, θ, z) tel que → − −→ − − OM = r → (θ) + z k u où : →− − → • θ est une mesure de l’angle i , OP . → − → − − − • → (θ) est le vecteur → (θ) = cos θ i + sin θ j u u − → − • r est le réel positif tel que OP = r → (θ) u • z est la cote de M dans R. Remarque 3.7 (r, θ) est un système de coordonnées polaires pour P relativement à R0 . P ROPOSITION 3.6 ♥ Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes →→→

Comparaison des suites numériques 1) Suites équivalentes 2) Suites de références Annexe I : fonctions chaotiques 1) Etude d'une suite récurrente 2) Fonctions chaotiques Annexe II : Caractérisations du corps des réels I : Corps des réels 1– Propriétés u Un réel peut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière, suivie d'une infinité de chiffres constituant sa partie décimale. EXEMPLE : -1- π = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751... Nous préférons

Concours CCP 2004 Epreuve sp´cifique - Fili`re PC e e MATHEMATIQUES 2 Dur´e : 4 heures e Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance ` la clart´, a e a ` la pr´cision et ` la concision de la r´daction. e a e Si un candidat est amen´ ` rep´rer ce qui peut lui sembler ˆtre une erreur d’´nonc´, ea e e e e il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´t´ amen´ ` prendre. ee ea

fonction n’est pas dérivable en 0. II – FONCTION DERIVEE Définition : La dérivée d’une fonction f est la fonction f’ définie par f '( x) = lim h→0 f ( x + h) − f ( x ) h là où cette limite existe. Dans la définition de f’ (x), x est un réel quelconque de l’ensemble de définition de f . Quand f’ (x) existe ( c’est à dire que la limite de la définition existe ), on dit que f est dérivable en x . Théorème Si une fonction est dérivable en a alors elle est continue en a. En terminale ES ce

En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E). 5) Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que . Partie B : On considère la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par où k est un nombre réel donné. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. 1) Montrer que la fonction admet un maximum en . 2) On note le point de la courbe d’abscisse . Montrer que le point appartient à la courbe d’équation . 3) Sur le

bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un intervalle I sur J = f(I) ; Tout réel y∈J admettant un unique antécédent par f, on peut construire à partir de f une nouvelle fonction définie sur J, qui à tout réel y de J associe son antécédent x par

Déterminer le sous-ensemble de P pour lequel existe une décomposition de type (D). PROBLEME N° 1 On rappelle qu’une suite réelle (un) est dite « récurrente d’ordre k » lorsque le terme général un dépend des k termes précédents un−1, un−2, ....., un−k ; les k premières valeurs u0, u1, ..., uk−1 de la suite sont données comme conditions initiales. On considère une suite réelle (un), où n est un nombre entier, n ∈ N. La suite (un) est une suite récurrente d’ordre 2 définie par la relation : un+2 = (un+1

intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) >

L’infini ? c’est gros comment Vol. 2 • hiver – printemps 2007 Ce matin-là, à la cafétéria Frédéric Gourdeau    Université Laval Annick    Yannick    L’infini, c’est gros comment ? 14 Bien, c’est facile. Il y a deux fois plus de nomYannick, levant les yeux vers le ciel  bres naturels que de nombres pairs. … Annick    C’est ce que je me suis dit, mais alors j’ai Annick    un problème. Ça veut dire que l’infini des Fais pas ces yeux-là. J’suis pas folle. nombres naturels est deux

appelle médiane tout réel me tel que : au moins 50% des termes de la série ont une valeur inférieure ou égale à me et au moins 50% des termes de la série ont une valeur supérieure ou égale à me On prouvera, ci-dessous (théorème 1), qu'un tel réel existe toujours ! Remarque : la médiane partage l'ensemble des termes en deux sous ensembles de même effectif. (Enfin presque !) Exemples : Pour l'élève A (N = 8) : me = x4 = 9 (x5 = 10 conviendrait également ou, plus généralement, tout réel de [9 ; 10]) Pour