Cercle inscrit

aussi qu'il étudia quelques années en Egypte, à Alexandrie, auprès des successeurs d'Euclide. Avant tout, Archimède excelle en géométrie, où il invente des méthodes d'avant-garde. Il calcule notamment la longueur du cercle en l'approchant par des polygones réguliers inscrits et exinscrits. En utilisant des polygones réguliers à 96 côtés, il montre notamment sa célèbre formule d'approximation de pi : Ceci préfigure, près de 2000 ans auparavant, le calcul intégral inventé par Newton et Leibniz

bien horizontal et les pieds à l’équerre. C’est une posture géométrique, qui demande une rigueur et une précision toutes mathématiques. D’ailleurs, on peut observer que les pieds ainsi disposés forment un triangle équilatéral, celui que l’on inscrit dans un cercle en géométrie. L’Apprenti démontre ainsi qu’il a commencé à chercher, à apprendre ses premières leçons. Il n’est qu’au début du chemin, mais déjà il fait preuve de vertu. Car il se doit « d’être d’équerre », par ses actes comme par sa pensée

à l’aide de deux cercles. D D A B A B C Rosace Motif 1. Dans le motif ci-dessus, quelle est la mesure de l’angle formé par les tangentes aux cercles issues de A? 2. a. Montrer que AB = BC. b. Comment le rayon du plus grand des deux cercles s’exprime-t-il en fonction du rayon du plus petit des deux cercles ? c. D’après ses plans, l’architecte souhaite inscrire sa rosace dans un disque de rayon 3 3. Comment doit-il alors choisir le rayon de chacun des cercles du motif ? 4. On

l'angle entre le plan et l'horizontale IV/Droites remarquables Deux droites sécantes = un point commun Médiatrice= Droite qui passe au milieu d'un segment perpendiculairement. Les 3 médiatrices sont concourantes en un même point le centre du cercle circonscrit Bissectrice= Demi-droite qui partage un angle en deux parties égales Médiane= Dans un triangle une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du coté opposé Hauteur= Dans un triangle, une hauteur est une droite

pense aussi qu'il étudia quelques années en Egypte, à Alexandrie, auprès des successeurs d'Euclide.   Avant tout, Archimède excelle en géométrie, où il invente des méthodes d'avant-garde. Il calcule notamment la longueur du cercle en l'approchant par des polygones réguliers inscrits et exinscrits. En utilisant des polygones réguliers à 96 côtés, il montre notamment sa célèbre formule d'approximation de pi : Ceci préfigure, près de 2000 ans auparavant, le calcul intégral inventé par Newton et Leibniz

le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c. Partie B – Étude d’un cas particulier On pose a = 3 + i ; b = −1 + 3i ; c = − 5 − i 5. 1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC. Partie C – Étude du cas général ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit

de l’angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente C OMMENTAIRES La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : sin cos2 x +sin2 x = 1 et tan x = cosx . x On n’utilisera pas d’autre unité que le degré décimal. 1 Relations trigonométriques Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α l’angle

1 pt Deuxième partie : Activités géométriques / 9 points Exercice 5 / 9 points Partie A : Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10. Soit T un point de (C) tel que RT = 6. 1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle. R, T et M appartiennent au cercle et [RM] est un diamètre Or tout triangle inscrit dans un cercle de diamètre, l’un des côtés est un triangle rectangle avec comme hypoténuse ce diamètre. Donc RTM est rectangle en T 1 pt 2. Calculer

fraction C =? Racines carrées et géométrie On donne AB =cm ; AC =cm et BC =cm.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en précisant en quel point. Calculer, sous forme exacte simplifiée, l'aire du triangle ABC puis l'aire de son cercle circonscrit. Calcul littéral en géométrie (d'après Brevet des Collèges) Dans la figure ci-contre, AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés. Calculer AH en fonction de x, en déduire l'aire de AHIJ puis préciser, dans la liste ci-dessous, la (ou

et on obtient l’équation √ réduite Y 2 = 2X . On en déduit le paramètre p = 2/2, le foyer xF = −1/4, yF = 3/4 et la directrice x + y = 3/2. 3. On obtient un cercle lorsque |a| < 1 (type ellipse) et lorsque 1 + a = 1 − a, soit a = 0. L’équation devient √ √ √ √ X 2 + Y 2 + 2 2X − 2 2Y = 0 ⇐⇒ (X + 2)2 + (Y − 2)2 = 4. √ √ On obtient alors un cercle de centre Ω avec XΩ = − 2 et YΩ = 2, et de rayon 2. 4. Pour obtenir deux droites, il faut être du type hyperbole, c’est-à-dire vérifier |a| > 1. Pour déterminer