Cercle polaire

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa I ' Angles orientés Cercle trigonométrique : C’est le cercle de centre [pic] et de rayon[pic], orienté dans le sens direct : c’est le sens contraire des aiguilles d’une montre, c’est le sens positif, on dit aussi sens trigonométrique. La longueur de cercle est [pic] Radian : On considère le cercle trigonométrique et la droite [pic] perpendiculaire à la droite [pic] passant par [pic] Pour tout réel [pic] sur la droite, on appelle image de [pic] sur le cercle trigonométrique, le point [pic]

Page 5 Remarque :  Si , on obtient  Cela permet d’utiliser les symétries : si par exemple alors . Changement de variable en coordonnées polaires : Soit telle que . Alors est de classe sur , et son jacobien vaut : Et donc Exemple : 1)Calculer en passant en coordonnées polaires où D représente le quart de la partie comprise entre les deux cercles centrés à l’origine et de rayons 1 et 2(anneau). D’où 2)Calculer le volume d’une sphère : et puisque la fonction est paire par rapport aux

(O ; I ; J). Définitions : • Deux vecteurs u et v non nuls définissent un angle orienté noté (u ; v). • Les demi-droites [O ; u) et [O ; v) coupent le cercle trigonométrique en deux points E et F. Une mesure en radian de l’angle orienté (u ; v) est une mesure algébrique de l’arc EF. Rappel : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Son périmètre est 2( [pic] Exemples remarquables : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si (u ;

(Vulpes bengalensis) ; le renard roux ou renard commun (Vulpes vulpes). On compte plus de 40 sous-espèces de renards roux aux robes variées (renard charbonnier, renard argenté …). Le genre Alopex : le renard polaire ou arctique (Alopex lagopus). Ce genre a colonisé l’intérieur du cercle polaire arctique, le Canada, le Groenland, la Russie et le nord de la Scandinavie. Le genre Otocyon : le renard à oreilles de chauve-souris (Otocyon megalotis). Ce genre est limité à l’Afrique australe. Le genre Dusicyon

...................... 15 III – LES AURORES POLAIRES, MANIFESTATION VISIBLE DES SOUS-ORAGES MAGNETOSPHERIQUES ...................................................................................................... 17 III, 1 – Evénement électromagnétique se situant du côté exposé au Soleil ......................... 17 III, 2 – Evénement électromagnétique se situant du côté opposé au Soleil ......................... 18 III, 3 – Les aurores polaires, phénomènes lumineux de l’ionosphère ........

1S Chapitre 4 Angles et trigonométrie I-Repérage sur le cercle trigonométrique En enroulant l'axe des réels sur le cercle trigonométrique, chaque réel x « marque » sur le cercle un unique point M de c : on dit que x repère le point M ou encore que M est le point de c associé à x ; on le note M  x  . Puisque la circonférence du cercle c a pour longueur 2  , si le réel x repère M, le point M est aussi repéré par l'un des réels : x , x 2  , x 4  , ... (sens direct) ; ● x – 2  , x – 4 

Question de cours 22 juin 2009 Un point M décrit dans le plan Oxy une spirale logarithmique d’équation polaire OM = bθ où b est une constante positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet). { }

l’utilisateur du GPS est la sphère de centre le satellite et de rayon la distance d. 2. De la même manière on fait intervenir un deuxième satellite qui connaît la distance le séparant du récepteur GPS.L’intersection des deux sphères forme un cercle. Ce cercle représente l’ensemble des positions que peut avoir le récepteur GPS. 3. Mais la précision du satellite n’étant pas suffisante avec 2 on se sert d’un troisième satellite. La démarche est identique aux 2 précédents satellite. On obtient alors

DEVOIR n° 4 DE MATHEMATIQUES ( 1S2 - 2H ) Calculatrice interdite - La présentation intervient de manière importante dans l’obtention des points EXERCICE 1 : ( / 4,5 ) Sur le cercle trigonométrique, on construit l’angle → →   → →   π π ( OI , OA ) = et H tel que ( HA , HO ) = 4 2 a) Montrer à l’aide la relation de Chasles que → →   → →   → →   ( OH , OA ) + ( HA , HO ) + ( AO , AH ) = π + 2kπ € → → π    b) En déduire que ( AO , AH ) = + 2kπ 4 c) En déduire la nature

définissant h par e , montrer que l’on a : v = (e .h -1)K/L Retrouver ainsi l’équation du mouvement demandée à la question 3. II – Coniques : Les coniques sont des courbes planes obtenues par l’intersection d’un plan et d’un cône. En coordonnées polaires ρ et ϕ elles admettent pour équation caractéristique : p ρ= 1 − e cosϕ où les quantités positives p et e sont respectivement le paramètre et l’excentricité de la conique. L’origine de r est appelée foyer F de la conique. 1) Quelles sont les dimensions