Cercle polaire

sous l'influence de la mousson d'été), des régions situées dans le grand Nord ( climat polaire ) et des marges méridionales du pays (nuances désertiques). Le relief pose un problème lorsqu'il accentue le froid de l'hiver. Les hautes montagnes sont situées dans la partie sibérienne du pays et dans le Caucase, ce qui accentue le froid hivernal et rend les étés moins chauds. Les montagnes forment un arc de cercle périphérique qui isole la Russie des pays voisins, les pays du Caucase ou la Chine.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Équations cartésiennes d’une droite ou d’un cercle 8.1 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

posant : F (x, y) = f (x) – y. ii) Mais réciproquement, si une courbe Γ est donnée par une équation du type F (x, y) = 0, on ne sait pas en général lui asssocier une équation du type y = f (x) ou x = f (y). c) Quelques exemples fondamentaux. i) Le cercle : (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. ii) L'ellipse et l'hyperbole. Soient a et b deux réels strictement positifs. x2 y2 La courbe plane d'équation 2 + 2 = 1 s'appelle ellipse. a b 2 x y2 La courbe plane d'équation 2 − 2 = 1 s'appelle hyperbole

repère ( O, i , j ) et on a alors : M ( t ) x (t ) y (t ) , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en coordonnées r cos θ , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en r sin θ cartésiennes », ou M ( r ,θ ) coordonnées polaires ». L’ensemble des points M obtenus constitue le graphe de γ . En traçant dans le plan la courbe correspondante, on obtient la courbe représentative du graphe de γ . Nous la noterons Γ . Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes Domaine de définition

perpendiculaire à (d) passant par F; Si e > 1 deux droites sécantes ; Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F). Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r. {text:list-item} Cas affine En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second

cartésiennes : définition, affixe d’un vecteur, interprétation géométrique de l’addition et de la multiplication dans C, condition d’alignement de trois points, affixe d’un barycentre. 2 - Coordonnées polaires : définition, lien avec l’affixe, passage des coordonnées cartésiennes aux z−a polaires. Repère polaire. 3 - Module et argument de z → z−b , condition d’alignement de trois points. Interprétation de z → az +b 4 - Changement de bases, de repères. Écriture matricielle dans le cas de repères orthonormés

directrice et excentricité) ; * l’aspect algébrique, comme courbes définies par certaines équations du second degré. Pour l’exécution de stracés, nous reconnaîtrons dans ces coniques des courbes représentatives définies par une équation cartésienne ou polaire. 2 2.1 Définitions Définition 1 Soit F un point fixe, D une droite fixe et e un réel strictement positif avec F ∈ D. Pour tout point M du plan, on note H le / MF = e est appelé conique de foyer F , de projeté orthogonal de M sur D. L’ensemble

R EY - Prise en main de GeoGebra 2.2 Construction à la souris 3 – si on affiche l’objet, si on affiche son étiquette (son nom ou sa valeur : coordonnées, équation,. . .) ; – le type de valeur (pour les points : coordonnées cartésiennes ou polaires, pour les droites : équation de type ax + b y + c = 0 ou y = ax + b, . . .) ; – la couleur de l’objet et l’épaisseur des traits ; – mais aussi d’indiquer une condition pour afficher l’objet. 2.2 Construction à la souris Les propriétés de la feuille

= P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + γ R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt a Exemple Calculer l’int´grale curviligne donnant la circulation du vecteur V = e x−y x+y le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1. Le cercle C sera param´tris´ par : e e   x = cos t y = sin t γ(t) :  t ∈ [0, 2π] Par d´finition, on pose e 2π I V · γ (t) dt = = C 2π I = 0 0 cos t − sin t (− sin t) + cos t − sin t cos t dt 1

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;