Champ scalaire

du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)} est : Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. −→ −→ −→ → − − − − −→ − − − → Par définition le barycentre G vérifie : 2GO − GA + GC = 0 ⇐⇒ 2OG = AC ⇐⇒ −→ − − → 3. Question 3 : Le produit scalaire AH · FC est égal à : Réponse a : 1. Réponse b : −1. −→ − − → −→ − − → Avec AH (−1 ; 1 ; 1) et FC (0 ; 0 ; −1), AH · FC = −1. 4. Question 4 : Les points B, C, I, H : Réponse a : sont non co-Réponse b : forment unRéponse c : forment un planaires. rectangle

des lignes ou des colonnes? Comme vous pourriez deviner, ils sont le résultat d’une multiplication matricielle. Aller de C à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 3 de la matrice T. Aller de B à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 2 de la matrice T. Si vous multipliez T par elle-même, vous obtiendrez les mêmes réponses qui vous avez obtenu pour ces deux questions et le reste de la matrice

coefficients de In sont les (ai , j ) = ai , j = 1 si i = j ai , j = 0 si i ≠ j Donc, ( ai , j ) = δ i , j • Matrice scalaire : A est une matrice scalaire si A est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous égaux. α A= 0 α = α In 0 In et 0(n,n) sont scalaires. Les matrices scalaires sont les matrices de la forme In pour tout scalaire. • Matrice triangulaire : A est triangulaire supérieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sous la diagonale. ∀(i

 Additionnez graphiquement les quatre vecteurs  suivants: (4 m à 30°), (4,5 m à 50° N.O.), (1,5 m à ­120°) et (2,5  m à 70° S.E.) 2 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.3 Propriétés des vecteurs Multiplication d'un vecteur par un scalaire • Vecteur  3 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.3 Propriétés des vecteurs Vecteur unitaire Fig. 1.17 4 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 Composantes d'un vecteur : notation rectangulaire

curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 5. CONCLUSION ..................................................................................................................... 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 Position, vitesse et accélération OM(t+dt) dOM OM(t) V(t+dt) dV V(t) V= dOM dt Γ= dV dt V est colinéaire à dOM Γ est colinéaire à dV dOM = V dt forme différentielle

λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df (0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours not´ ) et un r´el σ > 0 tel que e e λ pour tout x tel que x σ. c) En d´duire que 0 est stable. Montrer que

Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain et The Fourier Integral and certain of its applications, ainsi que Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Je promets de m’y mettre bientôt. 3 Semaine 1 1. Produit scalaire hermitien. Espaces de Hilbert. L’espace l2 (N) est complet. 2. Si L ⊂ K avec K Hilbert, alors L est Hilbert si et seulement si il est fermé dans K. Projection orthogonale sur L, fermé dans K. Pour tout sous-espace L ⊂ K on ⊥ a L = (L⊥ ) . 3. Procédé

e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e ıtriser le calcul matriciel et la notion de valeur propre ; les TD

b11 + a12 . b21 + a13 . b31 c21 = a21 . b11 + a22 . b21 + a23 . b31 On peut remarquer que les cij ont le même i (ligne) que les aij et le même j (colonne) que les bij. On peut donc écrire : D/ Multiplication d’une matrice par un scalaire Soit une matrice A et un scalaire λ alors B = λ A, bij = λ.aij. III.Décomposition d’une matrice carrée en 2 matrices, l’une symétrique et l’autre antisymétrique A/ Définition Une matrice A est dite symétrique si pour tout i et j, aij = aji. Une matrice B est

PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants : K K → Repère direct k → → k J → → Repère O I indirect O → j j → i i I J Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect"