Coefficient binomial

l'hypothèse. p d'un caractère Echantillon Hypothèse : n Fréquence f du caractère 2) Intervalle de fluctuation à 95% • La variable aléatoire X compte le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent le caractère étudié. Elle suit donc une loi binomiale de paramètres n et p. X prend donc des valeurs entières de 0 à n. • On partage l'intervalle [0 ; n] en trois intervalles : [0 ; a – 1], [a ; b] et [b + 1 ; n], de façon que X prenne ses valeurs dans chacun des deux intervalles extrêmes avec une probabilité

Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer 5 cartes dans un jeu non truqué de 32 cartes. Dénombrer le nombre de tirages possibles répondant aux conditions suivantes : 1/ Nombre

< μ + 3σ) μ – 3σ 37 1. L’espérance est E(X) = np = 20 × 0,20 = 4 et l’écart type est σ(X) = 9np(1 – p) = 020 × 0,20 × 0,8 ≈ 1,79. 2. On choisit une variable aléatoire Y qui suit la loi normale de même espérance et de même écart type que la loi binomiale, soit E(Y ) = 4 et σ(Y ) ≈ 1,79. 3. On a p(X > 5) ≈ p(Y > 5) ≈ 0,288. x μ + 3σ μ 6σ y p(μ < X < μ + 2σ) x μ + 2σ μ 2σ 116 © NATHAN La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 9 Énoncé 2 38 C 1. L’espérance est E(X) = np = 50 × 0

Bernoulli de paramètre ��. Soient ��1 , … , ���� des variables aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre commun ��. La variable aléatoire ���� = ��1 + ⋯ + ���� , représente le nombre de 1 obtenus parmi les ��1 , … , ���� ; elle suit la loi binomiale de paramètres ��, �� . Cette loi de probabilité est donnée par ℙ �� = �� = �� ���� �� ��−�� , �� ∈ 0,1, … , �� �� Supposons un individu (ou « particule ») sur un escalier, qui tire à pile ou face pour décider si le prochain pas sera vers le haut

lance un grand nombre de fois un dé, la fréquence observée d'apparition du nombre "six" tend vers la probabilité théorique. C'est une question essentielle à résoudre pour les problèmes de modélisation. De Moivre montre en particulier que la loi binomiale tend, en un certain sens, vers la loi normale (ou loi de Laplace-Gauss), la fameuse loi "à la courbe en cloche". De Moivre s'intéresse aussi aux applications pratiques des probabilités et statistiques. Il dresse ainsi des tables de mortalité précises

P[X≤n] = P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n] P[X≥n] = P[X≤n-1] = 1-{P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n-1] Probabilité uniforme f(x) = 1/n n = nb de valeurs que peut prendre x Espérance = moyenne E(x) = µ =  x.f(x) Variance Var(x) = 2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès (■(n@x)) = n!/x!(n-x)! 4 conditions : L’expérience est une série de n tirages identiques Deux résultats sont

on en déduit que la somme de n variables suivant des lois de poisson de paramètre λ est une loi de Poisson de paramètre nλ. On en déduit les probabilités et \mathbb{P}(X_1=k| \sum_{i=1}^n X_{i}=S)= C^k_S \, \frac{(n-1)^{S-k}}{n^S} X1 suis une loi binomiale B(S, 1/n). La valeur en k=0 nous donne l'estimateur δ1 [dérouler][enrouler] \delta_1=\left(1-{1 \over n}\right)^{S}.\,\! δ1 est tout comme de δ0 un estimateur de e − λ mais à l'avantage d'être beaucoup plus précis grâce à l'application

indépendance V(S) = 120*30² = 108000 σ(D) = V(S) = 328,6335 Donc S ∼ N (8400 ; 328,6335) d’où P(S ≥ 10000) = P(T ≥ 4,87) = 1 – P(T 100 et p < 10% ⇒ on peut approcher la loi binomiale par une loi de Poisson P (4). Ainsi, P(N>5) = 1 – p(N≤5) =1- 0,7851 = 0,2149 1 d) B ∼ B(100 ; 0,2) np = 20 et nq = 80 ≥ 20 donc on peut approcher la loi binomiale par une loi normale de moyenne m = np = 20 et d’écart-type σ = npq = 4, donc en notant Bc la variable continue associée qui suit la loi N (20 ; 4) et en effectuant

k avec p k =   p k q n – k . loi de Bernoulli : k  k Remarque : p=0 ∑p q n k n–k = 1. 96 cours savoir-faire exercices corrigés • Loi binomiale Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre k de réalisations de A dans un schéma de Bernoulli. La variable X suit une loi binomiale de paramètres ( n, p ), elle a pour loi de n probabilité P ( X = k ) =   p k q n – k .  k Dans ce cas µ = np et σ = npq. exemple d’application n n – 1  n – 1 Démontrer

(PROGRAMME FACULTATIF) Équations a (t ) x′ + b(t ) x = 0 Solutions sur un intervalle I f (t ) = ke −G (t ) où G est une primitive de t b(t ) a (t ) Formulaire de mathématiques -2- B.T.S. Informatique de gestion 3. PROBABILITES : a) Loi binomiale E (X ) = np P (X = k ) = Ck p k q n − k n npq où ! Ck = k !(nn− k )! ; n (X ) = b) Loi de Poisson P (X = k ) = E (X ) = λ V (X ) = λ e −λ λ k! k k 0 1 2 3 4 5 6 λ 0,2 0,8187 0,1637 0,0164 0,0011 0,0000 0,3 0,7408