Coefficient binomial

Exercice n°99 p255 1) X suit une loi binomiale de paramètre p=0,48 et n=21. X~B (214 ; 0,48) 2) On cherche combien de fois Fabrice peut espérer gagner en moyenne lors de ces 214 parties. Etant donné que la probabilité que Fabrice gagne est de 0,48 et qu’il y a 214 parties, on fait : probabilité de gain * nombre de partie D’où 0,48 * 214 = 102,7 Or étant donné que c’est des chances le nombre obtenu doit être un entier naturel, donc on arrondi au supérieur. Conclusion, Fabrice peut espérer

tracer une courbe exponentielle /1 3.e EC d’utiliser cet ajustement exponentiel pour estimer une valeur inconnue /0,5 4 EC de choisir un modèle de régression /1 2 1 EC de déterminer la nature binomiale d’une loi et d’en préciser les paramètres /2 2 EC de préciser quelle loi de Poisson approche la loi binomiale /1 3.a EC de calculer une probabilité avec un valeur égale à… /1 3.b EC de calculer une probabilité avec une valeur comprise dans un intervalle. /1 4 EC de transformer un problème en calcul

⎡⎢( X − E ( X ) ) ⎤⎥ ⎣ ⎦ PanaMaths [1-3] Janvier 2006 Autre expression de la variance n V = ∑ xi 2 pi − E 2 i =1 Soit encore : ( ) 2 2 V = E ⎡⎢( X − E ( X ) ) ⎤⎥ = E X 2 − ( E ( X ) ) ⎣ ⎦ Loi de Bernoulli – Loi binomiale Loi de Bernoulli Définition On appelle « expérience de Bernoulli » toute expérience aléatoire dont l’univers compte deux issues. Traditionnellement l’une est appelée « succès » et l’autre « échec ». Remarque : les dénomination de « succès

est donnée par pour tout réel x ≥ 0, où d1 et d2 sont des entiers positifs et B est la fonction bêta. La fonction de répartition associée est : où I est la fonction bêta incomplète régularisée. La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante[4]: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors où F suit une loi de Fischer de paramètres avec L'espérance, la variance valent respectivement pour d2 > 2 et pour d2 > 4. Pour d2

par : =SI(ALEA()<p;1;0) IV. Méthodes à usage pédagogique 1. La loi binomiale à partir du processus de Bernouilli Exemple : Un examen consiste en une série de 40 questions indépendantes comptant chacune pour le même nombre de points. A chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un étudiant qui répond au hasard a-t-il des chances d’avoir plus de la moyenne ? Le nombre de bonnes réponses suit une loi binomiale, qu’on peut simuler par la formule : =CRITERE.LOI.BINOMIALE(n;p;ALEA())

faut ensuite déterminer dans lequel de ces sous-intervalles se trouve U . Une manière de faire cela est d’utiliser la partie entière supérieure : U = rand(1); X = ceil(k ∗ U ) 2 Chapitre III. Simulation de variables aléatoires (4) Loi binomiale de paramètre (n, p) Il suffit d’ajouter des lois de Bernoulli : sous scilab, par exemple U = rand(1, n) Y = (U < p) ; X = sum(Y ) (5) Loi géométrique de paramètre p Il suffit de répéter des Bernoulli jusqu’à obtenir un succès : X = 1; U =

modélisent par une double partition. Démontrer que la connaissance de 3 probabilités parmi les suivantes permet de déterminer toutes les autres : P(A), P(B), PA(B), PA ( B ) , PB(A), PB ( A) Exercice 8 Loi hypergéométrique, loi de Bernoulli, loi binomiale 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage

stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3 . c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira

X qui , à tout prélèvement ainsi défini , associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement . Partie A : Dans cette partie , les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2 . 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres . 2. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses 3. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait au plus quatre ponceuses défectueuses

TS1 Contrôle du jeudi 17 janvier 2013 (50 minutes) V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase. Prénom et nom : .…………………………………………………. Note : …… /20 VI. (5 points) ………………………. I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement