Coefficient binomial

Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Notions de convergence de v.a . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N

production. e e Soit X la variable al´atoire : nombre de pi`ces d´fectueuses parmi les 5. e e e 1. Quelle est la loi de probabilit´ de X ? e X suit une loi binomiale de de param`tres N = 5 et p = 0.3. e k On en d´duit que ∀k ∈ [[0, 5]], p(X = k) = C5 0.3k 0.75−k e 2. Calculer E(X) et V (X) On a d´montr´ dans le cours que pour la loi binomiale on avait e e E(X) = N p V (X) = N p (1 − p) On a donc dans cet exercice E(X) = 1.5 V (X) = 1.05 3. Quelle est la probabilit´ que deux des pi`ces soient d´fectueuses

DCG UE11 Fiche 1 en Probabilités La loi Binomiale I) Contexte d’application : Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles : S = Succès On répète n p = P (S ) E = Echec Epreuve de Bernoulli : de Probabilité de Probabilité q = P (E ) = 1 − p fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante. On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement S (succès) au cours de ces

(succès p = 0,02 échec q= 0,98) répétée n = 20 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante, donc le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(20 , 0,02) 2. On a alors p(X= 0) = binomFdp( n, p, k) = binomFdp(20 , 0,02 , 0) = 0,6676… = 0,668 à 10-3 près 3. P(X ≥ 1) = 1 – p( X = 0) = 0,332 à 10-3 près 4. L’espérance d’une loi binomiale est facile : E(X) = np = 20 x 0,02 = 0,4 Donc en moyenne, sur 20 pièces, il y en aura 0,4 de non conforme… Ou plutôt : sur 200 pièces, 4 seront

indépendants. Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l’échantillon. a. Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire Yn suit une loi binomiale de paramètres n 100 et p = 0,05. b. On sait que n 100 donc n n 100 et p = 0,05 donc np 30. 100 × 0,05 ⇐⇒ np p = 0,05 donc 1 − p = 0,95 ; n(1 − p) Les trois conditions sont vérifiées. 5 100 × 0,95 ⇐⇒ n(1 − p) 95 et donc n(1 − p)

aussi une loi de Poisson de paramètre Si  > 20, on peut faire une approximation de la loi de Poisson par une loi normale de paramètres . Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p : Si n est grand et p voisin de 0, alors la loi binomiale peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre  = np Il convient de faire cette approximation pour n > 30 et np

comme succès : une partie gagnée) 5 fois de suite de façon indépendante et identique ( on remet les boules après chaque partie ). Il s'agit donc d'un schéma de æ 3ö Bernoulli et comme la variable aléatoire X dénombre les succès, X suit une loi Binomiale B ç 5; ÷ . è 8ø 3 5 -3 æ 5ö 3 3 La probabilité de gagner exactement trois parties est égale à : p ( X = 3) = ç ÷çæ ö÷ æç1 - ö÷ ; 0,206 . è 3øè 8 ø è 8 ø b. Gagner au moins N parties correspond à p ( X ³ N ) = 1 - p ( X < N ) donc on obtient

par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. Les 5 dossiers sont étudiés de manière indépendante et chaque candidat a une probabilité égale à 0,07 d’être recruté (car la probabilité Donc de ne pas être recruté est 0,93). suit la loi binomiale de paramètres et . b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à . N. Duceux

Fonction de répartition d’ une variable aléatoire  Soit ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur  Ω     On appelle fonction de répartition de X , l’application définie de IR dans  [ 0,1]  par  f : x → p( X ≤ x )     Loi binomiale ou Schéma de Bernoulli  Un schéma de Bernoulli se résume par :  • La répétition d’une même épreuve n fois de suite et d’une façon indépendante ; chaque épreuve  n’a que  deux issues contraires : succès ( notée S) avec p(S) = p ou échec ( notée E) p( E ) =1‐p 

(a)Γ(b) 1 a −1 = x (1 − x) b−1 dx . Γ (a + b) ∫0 Table 1 : Variables aléatoires réelles discrètes Nom et Symbole Support Probabilités élémentaires Espérance Variance P( X = k ) Loi de Bernoulli B ( p ) p ∈ ]0,1[ Loi binomiale B (n, p ) p ∈ ]0,1[ , n ∈ !* Loi binomiale négative BN (n, p ) p ∈ ]0,1[ , n ∈ !* Loi de Poisson P(λ ) p ∈ ]0,1[ Loi hypergéométrique H ( N , m, n) N ∈ !* , (m, n) ∈ {1,..., N }2 génératrice {0,1} P ( X = 0) = 1 − p P( X = 1) = p p p (1 − p) 1 − p + pz {0,1