Coefficient binomial

Le camion‐benne ne tombe pas en panne le premier mois (considéré comme un  succès)   p = 0,9      q = 0,1    On répète 10 fois de manière indépendante cette épreuve    Z est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès    Z est donc une loi binomiale de paramètres B(10 ; 0,9)  0,9 0,1 2. 10 0,349    D.  1. si   est dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on accepte l’échantillon  si   n’est pas dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on rejete l’échantillon au seuil de confiance  de 95%  2. 24,978   [24

2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition…………………………………………………………………………….…..6 2.3.2. Espérance et variance………………………………………………………..…8 2.3.3. Symétrie et récurrence de la loi binomiale……………………..8 2.3.4. Stabilité de la loi binomiale…………………………………………………9 2.4. Loi de Poisson………………………………………………………………………………………..9 2.4.1. Approximation d’une loi binomiale………………………………………9 2.4.2. Loi de Poisson……………………………………………………………………

E(x)= 1/6 V(x)=1/6x5/6 = 5/36 σ(x) =√(5/36)=√5/√36=√5/6 b) Loi binomiale: Définition: soit x suit la loi de paramètre ~>B(p) Si on répète n fois et de manière indépendante la même expérience qui n’a que 2 éventualités possibles : - avoir les succès possible avec une probabilité - avoir l’échec possible avec une probabilité On a ainsi le schéma ou le processus de bernouilli X suit la loi binomiale de paramètres n et p et on note: X~>B(n;p) avec P(X=k)=C[k|n].p[k].q[n-k]

pouvant déboucher sur deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité = 0,05 ; et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité = 1 − = 0,95. Donc suit la loi binomiale de paramètres = et = , . 2°) 3°) =2 = ≥1 =1− = × 0, 05 × 0,95 =0 =1− ≈ , × 0, 05 × 0,95 ≈ , B. Loi binomiale C. Loi Normale 1°) Soit , ≥ 104 = =Π 2 = , On a utilisé les formules : suit la loi normale centrée réduite 0 ; 1 . − 120 104 − 120 ≥ = ≥ −2 = 1 − Π −2 = 1 − 1 − Π 2 8 8 ≥ =1−Π et Π

choisis germe ? Prélever trois bulbes choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de bulbes qui germent est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,83. L'évènement "au moins un des trois bulbes choisis germe " est l'évènement contraire de l'évènement "les trois bulbes ne germent pas ". Or la probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs est : 0,173 . D'où la

archétype 4 thèmes: Calcul de probabilité Dénombrement Propriétés de la Théorie de Thomas Distribution de loi de probabilité Variable Série de Variable Lois classiques (probabilité discrètes et continues) Epreuve de Bernouilli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Géométrique Loi Hyper-géométrique Loi Uniforme Loi de Pareto Loi exponentielle Loi Normale Loi log-Normale Autres lois issues de la loi Normale Echantillonage Population Echantillon

Soient X 1 ,...,X n i.i.d. selon B( p ) et X = ∑X i =1 n i ~B(n, p ) . Notons Fn = X estimateur sans biais de p. n - Dans le cas de grands échantillons : n Fn − p p(1 − p) ⎯⎯→ N (0,1) . loi n →∞ En approchant une loi binomiale vers une loi normale, on a : ⎛ Ce qui permet d’écrire : P⎜ − u ≤ n ⎜ ⎝ N ( 0,1) . Fn − p ⎞ α de la loi ≤ u ⎟ = 1 − α où u est le fractile d’ordre 1 − ⎟ 2 p(1 − p) ⎠ Et donc l’intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion

f (t) = (λt + µ)ert o` r est la racine double de l’´quation caract´ristique u e e rt 0, f (t) = [λcos( βt) + µsin( βt)] e o` r1 = α + iβ et r2 α − iβ sont les u complexes conjugu´es de l’´quation caract´ristique e e e 3. PROBABILITES a. Loi binomiale b. Loi de Poisson P(X=k)= k\ λ n! Cn pk qn−k o` Cn = k ! (n-k) ! u k k E(X)= np ; σ(X)= √ npq e−λ λk k! E(X)= λ 0,4 0, 6703 0, 2681 0, 0536 0, 0072 0, 0007 0, 0001 0, 0000 V(X)= λ 0,6 0, 5488 0, 3293 0, 0988 0, 0198 0, 0030

variable aléatoire du nombre de moteurs de A qui tombent en panne, et Y la variable aléatoire du nombre de moteurs de B qui tombent en panne. X suit une loi binomiale B(4, p). En particulier, on a : P (X = 0) + P (X = 1) = 4 0 4 1 p (1 − p)4−0 + p (1 − p)4−1 = (1 − p)4 + 4p(1 − p)3 . 0 1 D’autre part, Y suit une loi binomiale B(2, p). En particulier, P (Y = 0) = (1 − p)2 . On a intérêt à prendre l’avion A si P (X = 0) + P (X = 1) ≥ P (Y = 0). Ceci donne : p(1 − p)2 (2 − 3p) ≥ 0.

param`tre ÈÔAÕ. e Si X est une variable al´atoire de loi la loi de Bernoulli de param`tre p È Ö0, 1×, alors elle e e admet des moments ` tout ordre et on a : a La fonction caract´ristique de X est ϕX Ôθ Õ e 1.3. Lois binomiales ´ e Definition 3. — Soient n È Æ¦ et p È Ö0, 1×. On appelle loi binomiale de param`tres n et p la loi de probabilit´ discr`te µ de support Ø0, 1, . . . , nÙ v´rifiant e e e µØk Ù Soit µ n ô k 0 k Cn pk Ô1 ¡ pÕn¡k ÖX n × p pour tout n 0, et 1 ¡ p   p expÔiθ Õ pour tout θ VarÔX