Coefficient binomial

calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement …nis 6 Convexité . . . . . . . . . . . . . 13 Lois discrètes …nies 1 Loi uniforme . . . . . 2 Schéma de Bernouilli . 3 Loi binomiale . . . . . 4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Séries 1 Dé…nitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . 2 Critères de convergence des séries à termes positifs

UNIVERSITE PARIS OUEST NANTERRE LA DEFENSE Licence de gestion 3ème année STATISTIQUES Mme CHEZE cheze@u-paris10.fr TABLES STATISTIQUES Loi binomiale Loi normale Loi de Student Loi du khi-deux Loi de Fisher Fonction de r´partition de la loi normale centr´e r´duite e e e (probabilit´ F(z) de trouver une valeur inf´rieure ` z) e e a z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

contrôlé au cours des 40 trajets. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; … ; 40} X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p. Pour tout nombre entier k[pic]{0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}, on a : P(X=k) = [pic][pic] p k [pic] (1 – p) 40 – k 2) Dans cette partie on suppose que p = [pic] . a) Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 pt) Comme X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p = [pic], E(X) = 40[pic][pic]= 2. b) Calculer les probabilités : P(X

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

tracer une courbe exponentielle /1 3.e EC d’utiliser cet ajustement exponentiel pour estimer une valeur inconnue /0,5 4 EC de choisir un modèle de régression /1 2 1 EC de déterminer la nature binomiale d’une loi et d’en préciser les paramètres /2 2 EC de préciser quelle loi de Poisson approche la loi binomiale /1 3.a EC de calculer une probabilité avec un valeur égale à… /1 3.b EC de calculer une probabilité avec une valeur comprise dans un intervalle. /1 4 EC de transformer un problème en calcul

2 - On étudie Y. Parmi les propositions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ? Aide aux calculs après arrondis : e-3 ≈ 0,05 ; (9×e-3)/2 ≈ 0,23 ; 0,43×0,57 ≈ 0,25 B(100 ; 0,1). B) Y suit une loi binomiale B (100 ; P( X > 2)). A) Y suit une loi binomiale C) La variance de Y est 9. D) La variance de Y est 25 (après arrondis). E) Aucune des quatre propositions précédentes n’est exacte. Y le nombre de boxeurs présentant un nombre de microhémorragies strictement supérieur

555 ≈ 0,643 La valeur attendue de σ ′ est donc 0,643. 3. a. Ici, l’épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité 0,06,... ou pas. On répète 50 fois cette épreuve. Y suit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,06. b. On calcule p(Y 6 2) avec la calculatrice. La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d’environ 0,416. Partie B : Campagne publicitaire On a n = 140 > 30

dit ‫ܧ‬ଶ est inclus dans ‫ܧ‬ଵ ). ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ 0,0006 = ≈ ૙, ૙૚૛૚ ࡼࡱ૛ ሺࡱ૚ ሻ = ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ 0,0494 B. Loi binomiale 1°) On a une série de ݊ = 40 prélèvements indépendants, chacun pouvant déboucher sur deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité ‫ ; 50,0 = ݌‬et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬ Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞. ଶ 2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ ଴ 3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ

la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant pris l’extension et qui l’ont fait jouer. D’après l’énoncé chaque client ayant souscrit à cette garantie a une probabilité de 0, 115 de faire jouer cette garantie. X suit alors une loi binomiale de paramètre n = 12 et p = 0, 115 car les tirages sont indépendants. On cherche donc P(X = 3), or : ✓ ◆ 12 P(X = 3) = ⇥ 0, 1153 ⇥ (1 3 0, 115)12 3 ⇡ 0, 111. (b) D’après la calculatrice, 6) ⇡ 0, 001. P(X 2. (a) Il y a deux possibilités : soit

∑ Pr{ X = x } Définitions diverses La complexité d’un problème est celle de l’algox 2 ] = E[ X 2 ] − E2 [ X ] rithme le plus efficace pour le résoudre. Variance : Var[ X ] = E[( X − E[ X ]) Un tri stable préserve l’ordre relatif de deux Loi binomiale : On lance n ballons dans r paniers. éléments égaux (au sens de la relation de Les chutes dans les paniers sont équiprobables comparaison utilisée pour le tri). (p = 1/r). On note Xi le nombre de ballons dans le panier i. On a Pr{ Xi = k } = Ck pk