Continuité territoriale

−t 2π . t 2 sin 2 t2 −t t sin − t ϕn (t) = 2π t 2π 2 sin 2 (2n + 1)t . Pour t ∈]0, π], on pose alors f(t) = 2 f est continue sur ]0, π]. De plus, quand t tend vers 0, f(t) ∼ posant f(0) = −1. En résumé, −t = −1. f se prolonge donc par continuité en 0 en t 2 2 n ∀n ∈ N∗ , k=1 π2 1 = + k2 6 π f(t) sin 0 (2n + 1)t 2 dt où f(t) =            t2 −t 2π si t ∈]0, π] t . 2 sin 2 −1 si t = 0 Il reste à étudier la limite quand n tend vers +∞ de l’expression

suivant les signes TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim =

LES FONCTIONS Généralités sur les fonctions 1) Qu’est-ce qu’une fonction ? Soit I un intervalle de (. On définit une fonction f sur I lorsque, à tout réel x de I, on associe un seul réel y noté f(x). On dit alors que y est l’image de x par f ou que x est un antécédent de y par f. Une fonction est : souvent définie par une formule (ainsi on dira « on considère la fonction définie sur ( par f(x) = 5x2 ») ; parfois par une touche de calculatrice (voir par exemple, les fonctions

EXISTENCE ET UNICITÉ DE SOLUTION(S) D'ÉQUATION DU TYPE ¦(x) = l I) Notion de continuité sur un intervalle Définition 1 (intuitive) : Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I. Exemples et contre-exemples : · La fonction représentée ci-contre est non continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. ·

MATHÉMATIQUES I Filière MP MATHÉMATIQUES I On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I x ∞ = sup x ( t ) t ∈ IR Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) = e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels

Exercice 2 : (5 points) On considère la fonction numérique définie sur IR par : f(x) = si x < 0 f(0) = 0 f(x ) = x² ln x si x > 0 1) a) Montrer que , pour x < 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]- ; 0[. Présiser le signe de f ’(x). b) Montrer que, pour x > 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]0 ; + [. Présiser le signe de f ’(x). c) Calculer et En déduire que que f est dérivable en 0 et préciser f ’(0). d) La

Calculer lim x,y0,0 x/x 2  y 2  2) Continuité a) Définition:Soit f une fonction définie sur une partie A de  n et à valeurs dans  p . On dit que f est continue en un point a appartenant à l’intérieur de A, si l’on a : lim xa f x  f a ce qui se traduit par :   0,   0, x  A et x  a    f x  f a  . b) Remarque: Grâce à la remarque II)1) b), étudier la continuité de f f1, . . . , fp au point a se ramène à l’étude de la continuité des fonctions composantes f 1 , . .

formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque F = F1 × F2 , on identifie L(E, F ) avec L(E, F1 ) ⊕ L(E, F2 ). Lorsque E = Rm et F = Rn , on identifie L(E, F ) avec Mn×m . 1

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

is Chapeau Le présent simple Le présent continu Vous trouverez le mois prochain le corrigé de cette fiche dans la rubrique « corrigés des exercices » 1-A061-MO-WB-010-10 SOMMAIRE : |Présent simple / présent continu : formation |p. 2 | |Présent simple / présent continu : emplois |p. 3, 4 | |Exercice |p. 5