Continuité territoriale

Mathématiques Devoirs Terminale ES Devoirs 1 à 10 Rédaction Jean-Yves HÉLY Directeur pédagogique des disciplines scientifiques 7-MA01-DVPA00-10 Jean-Michel LE LAOUÉNAN Référence : 7-MA01-DVPA00-10 Ce cours a été rédigé et publié dans le cadre de l’activité du Centre National d’Enseignement à Distance, Institut de Rennes. Toute autre utilisation, notamment à but lucratif, est interdite. Les cours du Cned sont strictement réservés à l’usage privé de leurs destinataires et ne sont pas

CORRIGE DU TD z −1=z −1 z  z1 3 2 Ex1 : a) l' équation donc 2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré

+ 1) 9 ∞ t2 0 dt = arctan t +1 ∞ 0 = π . 2 0 6. a) En effectuant un d´veloppement limit´ en 0, on a e e e−t − e−2t = 1 − t − (1 − 2t) + ◦(t) = t + ◦(t) , donc e−t − e−2t =1, t→0 t lim 1 et la fonction se prolonge par continuit´ en 0. Il en r´sulte que l’int´grale e e e converge. D’autre part, si t ≥ 1, on a 0≤ ∞ 0 e−t − e−2t dt t e−t ≤ e−t t ∞ et 0≤ e−2t ≤ e−2t , t ∞ et puisque les int´grales e 1 e −t dt et 1 e −2t ∞ dt convergent

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des

11. Synthèse des correcteurs par placement des pôles 1 11.1. Méthode de « Zdan » 11.1.1. Problème à résoudre 11.1.2. Calcul du correcteur C(x) 11.1.3. Exemple 11.1.4. Suppression des oscillations cachées 11.1.5. Conception d’un correcteur stable 11.2. Régulateur « RST » 11.2.1. Principe de la méthode et hypothèses 11.2.2. Précision en boucle fermée 11.2.3. Simplification des zéros 11.2.4. Choix du modèle à poursuivre 11.2.5. Résolution de l’identité de Bezout (equation diophantine) 11.2.6.

Université Pierre et Marie Curie 2009-2010 L3-PC UE LP331 Mathématiques 6. Interférences à deux ondes. Soit la fonction de R3 -+ M a. A quoi est équivalent ô(x,y,z) quand z —> +00? Montrer que lim 6(x, y. z) = a. Donner un équivalent b.. x—>+oo TD 2 : Fonctions, Dérivées, développements limités Sauf indications contraires, toutes les constantes introduites dans les énoncés sont des réels strictement positifs. Donner le domaine de définition et calculer les dérivées des fonctions : 7.

[pic] La fonction exponentielle et les équations différentielles. ➢ Comment transformer une écriture contenant une fonction exponentielle ? Méthodologie | | |Il suffit d’appliquer les propriétés algébriques suivantes : | |

La fonction exponentielle I – Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1 Définition : Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle. La résoudre sur un intervalle I c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité. Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur  telles que pour tout réel x : f’(x) = f(x). L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale. Propriété : Preuve 1 S’il existe une fonction f dérivable sur 

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit

W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté C 0 , est la continuité ; le degré suivant, noté C 1 , est la continue différentiabilité ; encore plus régulières sont les fonctions C 2 , C 3 , ..., puis C