Continuité territoriale

fonctions à valeurs complexes. Les encadrements éventuels s’effectueront sur les modules. On a par exemple encore le résultat fondamental suivant : C) Continuité et dérivabilité. 1) Définitions. La notion de limite étant maintenant bien précisée pour les fonctions à valeurs complexes, les définitions fondamentales de continuité et de dérivabilité se généralisent naturellement. On dira qu’une fonction f à valeurs dans C est continue en un réel x0 de son ensemble de définition I si

Exercices sur la fonction exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous la forme d’une puissance de e les expressions suivantes : 4 e7 -3 (e-1) a) 2 b) c) (exp(e2)) e e d) e2exp(-3) e) e-3 × exp(2) f) exp(1) × exp(-2) Exercice 2 : Ecrire plus simplement chacun des nombres suivants : 2 a) ln exp -  b) exp(ln(3) – 1) c) e5 ln 3 – 3eln 7   3     e2 ln 3 e3 d) ln 8 e) 4 + ln 3 e e Exercice 3 : Résoudre dans ! les équations suivantes : a) exp(2x – 3) = 1 b) ex = 2 c) e-2x = -2 d) exp(3x + 1) = e1–

Questions les plus fréquentes, Méthodes et Stratégies classiques. L’aspect rédaction est un aspect important des Mathématiques : de manière générale, un raisonnement pourra avoir cette forme : je dis ce que je fais et pourquoi je le fais (à l’aide d’une propriété ou d’une définition par exemple). je le fais (phase de calcul). je conclu, en répondant à la question. Exemple : « Etudier les variations de la fonction f ». pour étudier les variations d’une fonction, on étudie le signe de sa dérivée…

Etudier la courbe paramétrée dénie par F signie tracer dans le plan I 2 l'image de A R par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M (t) = (x(t), y(t)) lorsque t parcourt A. La fonction F sera supposée posséder certaines propriétés comme la continuité et la dérivabilité en tant que fonction à valeurs dans I 2 . Nous devons donc préciser ces notions. R dans A. On dit que F est continue en t0 si F (t) tend vers F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . 1 Dénitions Soit t0 ∈ A, on suppose que t0 appartient

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

Exercice 1 1) f’(1) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point D (1 ; 2), mais qui admet une tangente G (0 ; - 4) au point D. donc f’(1) = (yD-yG)/( xD –xG) = (2+4)/(1-0) = 6/1 = 6 f’(1) = 6 f’(2) = 0 Car f’(2) correspond au point E (2 ; 6) qui lui admet une tangente horizontale donc sa dérivée est égale à zéro. 2) L’équation tangente est : y = f’(a) (x-a) + f(a) Au point D, donc a = 1 f’(1) = 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 +

PROBLEME Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm). Partie 1 1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C). 2. Pour x > 0, calculer [pic]. Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on

I Ensemble de dérivabilité d'une fonction Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[[pic][ |][pic][ | |[pic] |[pic] |[pic] | | Si f est polynôme ? f dérivable sur[pic] Si f est rationnelle ? f dérivable sur son ensemble de définition II Calcul de dérivée Dérivées usuelles | |Opération sur les fonctions dérivables | |Fonction |Fonction dérivée | |Fonction |Fonction dérivée | |[pic] |[pic] | |U +

BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 2009 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire France métropolitaine EXERCICE 1 1) a) Soit n un entier naturel. vn+1 = un+1 − 6 = 1 1 1 1 un + 4 − 6 = un − 2 = (un − 6) = vn . 3 3 3 3 1 . 3 La suite (vn ) est une suite géométrique de raison b) On sait alors que pour tout entier naturel n vn = v0 × Or v0 = u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3 n . + 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries