Continuité territoriale

converge si 3|x| < 1 ⇐⇒ |x| < 3 3 √ √ 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N -E . 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors continue

Rappelons la notion de discontinuité de première espèce. Définition 3.2.2 Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x0 si les limites à droite et à gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de continuité.) Théorème 3.2.1 ( Dirichlet) Soit f : R → R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) : D1) Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE 01 : Trouver une primitive de chacune des fonctions f définies par 1°) f (x) = – x3 + 6x2 + 10x – 4 2°) f (x) = 2x5 – 5x3 + 5x ; 3°) f (x) = 3x4 – 4x3 + 5x2 – 9x + 1 5°) f (x) = (2x – 1)(x2 –x + 4)3 4°) f (x) = – 3x4 + 2x3 – 5x + 7 ; 6°) f (x) = (6x+3)(x2 + x + 1)4 ; 7°) f (x) = 5x (x2 +1)6 ; 8°) f (x) = 3x2 (x3 + 1)5 9°) f (x) = 7x2 (x3 + 5)3 ; 10°) f (x) = x (x2 – 4)2 11°) f (x)

EXO 1 DM 1. f′(x)=e2x+2(x−1)e2x−1=(2x–1)e2x–1 f′(0)=−1–1=−2 limx→+∞(2×−1)=+∞  limx→+∞e2x=+∞ Donc limx→+∞f′(x)=+∞   2. f»(x)=2e2x+2(2×−1)e2x =4xe2x.   3. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout x≥0 on f»(x)≥0. Cela signifie donc que la fonction est f′ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [0;+∞[. De plus f′(0)=−1–1=−2 et limx→+∞f′(x)=∞. 0∈]−2;+∞[. D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires)

- Exercice fonction exponentielle - Janvier 2014 Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur Ê telle que : f k (x) = kxe−k x . On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; #” ı , #”  . Partie A : Étude du cas k = 1 On considère donc la fonction f 1 définie sur Ê par f 1 (x) = xe−x . 1 . Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞. En déduire que la courbe C 1 admet une asymptote

et métrologie. Mots clés : polynômes, calcul vectoriel, trigonométrie, développements limités, statistiques. Plan Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements

Fiche Exercices Nº : 32002 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : Les fonctions Calculer des limites Méthode : On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ? Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec

Baccalauréat S Amérique du Nord Correction \ 30 mai 2014 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈

1 LIMITES DE FONCTIONS 1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ Cf A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞ Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale . Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note :  → j lim f ( x ) =

D´ partement de Math´ matiques e e Facult´ des Sciences e Universit´ Ibn Tofa¨l e ı K´ nitra e Cours d’Analyse II S2 Fili` res : SMP /SMC (Deuxi` me semestre, premi` re e e e ann´ e) e Notes r´ dig´ es par : e e M. BENELKOURCHI Slimane Professeur a l’Universit´ Ibn Tofa¨l. ` e ı Mars 2011 i Table des mati` res e Chapitre 1. Calcul Int´ gral e 1.1. D´ finition de l’int´ grale d’une fonction continue e e 1.2. Premi` res propri´ t´ s de l’int´ grale d’une