Continuité uniforme

TES AP n°12 : Corrigé Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignent l’extinction de cette espèce. L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Partie A : Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

Continuité et limites Continuité 4ème Math  et limites 4 L’essentiel du cours ème Math  L’essentiel du cours I/ Opérations sur les limites Soit L et L deux réels. Les résultats qui suivent concernent les opérations sur les limites en un réel ou à l’infini. lim f lim g lim  f + g  L L    L  L   L  L     lim f lim f L L     lim f lim g lim  f  g  L      L L  0 L  0    L  L      lim f L   lim f lim

IPT Informatique Pour Tous : Python™ Résolution approchée d'une équation – Dichotomie, Newton. Objectif : L'objectif de ce TD est de mettre en œuvre et de comparer les performances de deux méthodes de recherche approchée d'une racine d'une équation algébrique : méthode de dichotomie, méthode de Newton (avec variante selon la connaissance ou non de la dérivée de la fonction). Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère. (d'après

Fiche BAC S 03 Term. S Théorème des valeurs Intermédiaires (th.v.i.) Exercice n°1. [RÉSOLU] On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4 1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ . 2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ . 3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α . 4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ ------------

Chapitre 5 Chapitre 5. Fonctions exponentielles et puissances Activités et applications 2. Relation fonctionnelle et conséquences 1. Fonction exponentielle Activité. À la découverte de quelques propriétés 1. En utilisant cette fenêtre, Activité. Des équations à la fonction 1. a) L’équation ln(x) = 1 a une solution unique : le nombre e. b) ln(e2) = 2 ; e2 est solution de l’équation ln(x) = 2. ln(e–3) = – 3 ; e–3 est solution de l’équation ln(x) = – 3. c) On trace la courbe d’équation y = ln(x)

  Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3

Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2 [ 01734 ] Continuité   1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue. Exercice 7 [ 01738 ] Limite Exercice 3 Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y)

n=− p On rappelle le théorème de convergence normale : Si f :  →  est une fonction continue de période 2π et de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur . Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S p( f )) p∈ . Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux ». Une première partie démontre des résultats préliminaires. Une deuxième

Terminale S juin 2010 Liban 1. Exercice 1 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : * e0 = 1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, e− x = * Pour tous réels x et y, ex × ey = ex + y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer