Continuité uniforme

vrai pour n = 0 et supposant acquis le résultat au rang n ≥ 0, on a : 0 < un+1 = sin (un ) < 1. Tenant compte de l’inégalité sin (x) < x pour x ∈ ]0, 1] , on déduit que décroissante et comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel la continuité de la fonction sin, on déduit que sin ( ) = avec ∈ [0, 1] et un+1 sin (un ) On a donc lim = lim = 1 et le théorème de d’Alembert n→+∞ un n→+∞ un de conclure. 2. Le développement limité de sin en 0 à l’ordre 3 nous donne : 2 2 1

Séquence 6 1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions e 2 partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 6 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Dérivation (2) : application aux variations des fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 –

Suites et séries numériques de PCSI I - Généralités sur les suites numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞

(x+1)2 D’où on a une unique solutions sur ℝ vérifié les conditions de l’exercice. Exercice 5 : (a) : convergence. la fonction f(t) = t−1 est continue ln(t) sur]0,1[ . 1 pour le point 1 : On a limt→1 f(t) = 1 , Donc elle est prolongeable par continuité au point 1 . D’où ∫1 f(t)dt converge. 2 1 1 1 Pour le point 0 : On a limt→0 √t f(t) = 1,donc f(t) = 0( t) au voisinage de 0 , de plus ∫02 ( t) dt converge d’après Riemann. √ 1 √ Ainsi ∫02 f(t)dt converge. Donc notre intégrale converge. Calcul

M— Michel Fournié O- Intégrales simples 1-Intégrale double 2-Intégrales triples Intégrales doubles et triples - M— Michel Fournié fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 0- Intégrales simples (rappel) M— Michel Fournié O- Intégrales simples Rappels Approximation Définition : Intégrale définie • Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 0 3 2.5 2 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 • On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f , l’axe

Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 12 : Calcul Intégral Année scolaire 2008-2009 mise à jour 5 mai 2009 Fig. 1 – Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann On les confond parfois 1 Table des matières I Chapitre 12 : Calcul Intégral I.A Intégrale d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . I.A.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.B Intégrale d’une fonction continue négative . . . . . . . . . . . I.B.1 Intégrale d’une fonction continue

Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x&lt;1x3-3x+1 si x&gt;1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Exercice 3 Soit f la fonction définie par : fx=x2-1x-1+1 Etudier la continuité puis la

2. D´eveloppement en s´erie enti`ere de f . 2.a. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction x −→ − ln(1 − x). 2.b. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction f sur ]−1, 1[. 3. Prolongement par continuit´e de L en 1. +∞ xk pour tout x ∈] − 1, 1[. Rappeler le th´eor`eme utilis´e. 2 k k=1 On rappelle le th´eor`eme radial d’Abel : Soit une s´erie enti`ere de coefficients (an ), de rayon non nul R et de somme S. On suppose que la s´erie converge

Exercices - Calcul d’intégrales : indications Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Poser u = √ t. 2. Poser u = ex . Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration

sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1 soit dérivable sur R∗+ . Indication Correction Vidéo [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) =