Continuité uniforme

Exo7 Limites de fonctions 1 Théorie Exercice 1 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞. Indication Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0 Correction Vidéo [000612] √ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim [000609]

+∞. Mais alors, en posant g(x) = f (x) − (ax + b), on sait que – g est convexe ; – lim+∞ g = 0. On en déduit g ≥ 0, ce qui exprime exactement que la courbe représentative de f est toujours au-dessus de son asymptote. Exercice 12 - Convergence uniforme des suites de fonctions convexes - L3/Math Spé - http://www.bibmath.net 4 Fonctions convexes : corrigé 1. On commence par remarquer, que par passage à la limite dans les inégalités, f est ellemême M -lipschitzienne. Fixons ε > 0. On fixe

Exercice 1 Si une suite u est croissante alors elle tend vers +∞ Faux - contre exemple : la suite de terme général {draw:frame} {draw:frame} est croissante et pourtant converge vers 0 Si une suite est bornée alors elle est convergente. Faux - contre exemple : la suite de terme général cos(n) est bornée par -1 et 1 et n’a pas de limite donc n’est pas convergente. La composée d’une fonction paire suivie d’une fonction impaire est une fonction paire. Vrai : Si

Révisions Bac S - Fiche n°1 1.1. Résoudre dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

des effectifs répartis entre les classes 25 à 30 et 30 à 35. b- Le polygone des fréquences : Le polygone des fréquences obtenues en joignant par des segments de droites au milieu des bases supérieurs des rectangles permet de rendre compte de la continuité de la variable. En titre d’exemple, on peut prendre la figure précédente : ni Histogramme du courrier de deux mois de l’entreprise X 16 14 12 10 8 6 4 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ‫ا‬ 5 10 12 9 9 6 3 3 © www.e-tahero.net – Z.M.F ‫ا‬ 15

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. Question 1 : Le triangle GBI est : 4 points Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB2 = 1 + 2 = 3 ⇒ GB = 3 ; de même BI = 3 et GI = 2. Le triangle GBI est isocèle. 2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)} est : Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. −→ −→ −→ → − − − − −→ − − − → Par définition le barycentre G vérifie

Examen du baccalauréat (Juin 2009) Epreuve : MATHEMATIQUE Section : Economie et Gestion Session de contrôle Exercice 1 1) a) Remarques  Pour 1) les solutions sont conjuguées donc les coefficients de l’équation sont réels. 2)a ) 3) b) 4) b). Leur produit est égal à 2    Pour 2), n'hésitez pas à représenter les points dans un repère orthonormé. Pour 3), f(0) = 0 donc la tangente passe par le point O. Il n’y a que b). Pour 4) , Faites très attention. Il s’agit de la courbe de la dérivée

fonction d’une variable g(t) = f (tx). e Nous d´finissons maintenant les espaces h¨ld´riens ou lipschitziensC λ (Ω) e o e o` Ω est ouvert et 0 < λ < 1. C λ (Ω) est l’espace des fonctions continues u sur Ω qui satisfont des conditions de H¨lder localement uniform´ment. En o e λ d’autres termes, u ∈ C (Ω) si et seulement si, pour tout compact K ⊂ Ω, il existe une constante C et il existe η ∈]0, d(K, ∂Ω)[ tels que ∀y ∈ Bη (0), sup |u(x + y) − u(x)| ≤ C y x∈K λ (on a pris η < d(K, ∂Ω) uniquement pour que

3ème Maths : M2 Durée : 2heures Date : le 13 / 12 / 2008 Coefficient : 4 Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques Lycée secondaire Teboulba prof : Ghaddab Lassad Exercice 1 : ( 4 points) (1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,75 + 0,75) Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f dans un repère orthonormé (O, i, j ) d’une fonction f définie sur IR. On sait que : − La droite ∆ d’équation y = 2 x + 4 est asymptote à la courbe C f en + ∞ . − La courbe C f admet une tangente

CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE A. FONCTIONS CAUSALES Définition : Une fonction f , définie sur IR est causale si : Pour tout t < 0 , f(t) = 0. 1. Echelon unité Définition : L’échelon unité U est la fonction définie sur IR par : U(t) = 0 si t < 0 U(t) = 1 si t ≥ 0 Remarque : U est constante par morceaux. Elle est discontinue en 0. 2. Utilisation de l’échelon unité Définition : Pour transformer une fonction g définie sur IR en une fonction causale f prenant les mêmes valeurs sur [0 ; +∞[