Continuité uniforme

Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES I - NOMBRE DERIVE f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x. M A M O A A a h x O a h x=a+h O h Lorsque M devient de plus en

difficultés rencontrée dans l’étude des fonctions de la variable complexe est le caractère multiforme de certaines d’entre elles (on peut citer par exemple [pic] ou [pic]). En modifiant le domaine où varie [pic], Riemann a réussi à redonner un caractère uniforme aux fonctions multiformes. Pour cela, il a considéré le plan complexe comme un ensemble de feuillets superposés. De tels domaines sont appelés surfaces de Riemann. Weierstrass refuse le point de vue global de Riemann au profit d’une étude locale

Activité : Introduction à la fonction logarithme népérien. 1°) Définition – courbe représentative. Définition (bijection) : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un

1 LIMITES DE FONCTIONS 1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem

Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0

LES FONCTIONS USUELLES Chapitre 2 Les fonctions les plus simples sont celles que l’on peut construire à partir de la variable en utilisant des opérations élémentaires (addition, multiplication etc.), notammment les polynômes et fractions rationnelles. En ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d’équations polynômiales, on obtient des 1 fonctions plus variées, comme par exemple x → √ . Toutes ces fonctions sont dites 1 + x2 algébriques, les manipulations

Comment obtenir la forme canonique On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante : f(x) = x2-6x-7 | | | x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2on a (x-3)2=x2-6x+9 d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x) | f(x) = (x-3)2- 9-7 | | | On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2 | f(x) = (x-3)2-16 | | Informations que nous donne cette expression f(x) = (x-3)2-16 pour x=3, on obtient le minimum de la fonction

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. La fonction "inverse", définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1 , admet donc des primitives. Parmi ces primitives F, x que nous ne sommes pas capables d'expliciter, une seule vérifie la condition F(1) = 0. C'est précisément cette fonction F qui s'appelle logarithme népérien. De cette définition se dégagerons progressivement diverses propriétés qui