Continuité uniforme

+ o(x6 ). 19 Maths en Ligne f 2 (x) − g 2 (x) ∼ 4x4 . f 2 (x)g(x) ∼ x3 . f (x)g 2 (x) ∼ x3 . Développements limités UJF Grenoble 6. 7. 8. Vrai-Faux 4. Soit n un entier quelconque. On note f la fonction x → sin(x)/x, prolongée par continuité en 0. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Pour tout n, f admet un développement limité d’ordre n en 0. Pour tout n, le développement limité d’ordre n de f ne contient

Bac Blanc Correction Exercice 1 Partie A Question 1 La dérivée vaut donc : Question 2 ( ) La dérivée vaut donc : ( ) Question 3 ( ) La dérivée vaut donc : ( ) Question 4 ( ) La dérivée vaut donc : ( ) Question 5 La dérivée vaut donc : ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( )) ( ) Question 6 est de la forme avec : ( ) { La dérivée vaut donc Ainsi : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) avec : ( ) { ( ) ) ( ) ( ) ( Question 7 est de la forme avec : (

TP : terminale GEL PRIMITIVES D’UNE FONCTION Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de F sur I. On a donc : F ’ = f Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I. Théorème 2 : Les primitives d’une fonction f sur un intervalle différent entre elles d’une constante. Autrement dit si F est une primitive de f, toute primitive de f est

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

dérivable sur un intervalle I contenant un réel a : f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hϕ ( h ) avec lim ϕ = 0. 0 On appelle différentielle de f en a l’application : h On note dy = f ′ ( a )dx. hf ′ ( a ). 3. Lien entre dérivation et continuité Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a. Si f est dérivable en a, il existe donc un nombre dérivé f ′ ( a ) et une fonction ϕ tels que : f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hϕ ( h ) avec lim ϕ = 0 donc : 0 h→0 lim

y + y = g(x). c) Achever la résolution de cette équation différentielle. Exercice 50 [ 01991 ] [correction] Soient f : R → R de classe C 1 et F : R → R définie par ∀x = 0, F (x) = 1 2x x f (t) dt −x a) Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement. b) Montrer que F est dérivable sur R et exprimer F (x) à l’aide d’une intégrale c) Montrer que F est dérivable en 0 et observer F (0) = 0. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Exercice 51

TS. Correction - Révision du premier semestre E X 1 : ( 7 points ) ♣ → → − − Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 3 cm À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe : z′ = (3 + 4i) z + 5 z 6 C 1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z A = 1 + 2i, z B = 1 et zC = 3i. N Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images respectives de A, B, C par

Enoncé LIBAN JUIN 2009 Partie A On considère la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 10+(x−3)e x 1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Démontrer que f'(x) =(x−2)e x et étudier le signe de f '(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. d. En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. a. Démontrer que la fonction G : x →(x−4)e x est une primitive sur [0 ; +∞[ de la fonction g : x →(x−3)e x b. En déduire une primitive

O x Ω yΩ Mathématiques PACES 2012 Analyse : notions élémentaires Introduction Définitions élémentaires Fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Opérations et limites O x∆ - u x∆ x∆ + u x f(xΩ - u) continuité d’une fonction symétrie d'axe ∆ O xΩ - u xΩ symétrie de centre Ω xΩ + u - une fnct est continue sur son dom. de déf. lorsque "il est possible de tracer sa courbe sans lever le stylo". exemple de fonction continue y O

a : sin x x. (On pourra étudier les variations de la fonction r définie par : r(x) = sin(-x) On admet que pour tout nombre réel positif on a aussi : xx3 sin x x. 01,5pt 0,5pt Etudier la parité de φ et montrer que φ est prolongeable par continuité en 0. c) En déduire que w appartient à Mac2. II - Mac2, UN ENSEMBLE STRUCTURE D’après I, l’ensemble Mac2. est non vide. Soient alors f et g deux éléments de Mac2, et k un nombre réel. b) Soit φ la fonction de IR vers IR définie par : φ 01pt