Continuité uniforme

morceaux sur un segment . . . . . 1.2 R´vision du cours de premi`re ann´e sur l’int´grale des fonce e e e tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 1.3 L’int´grale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Continuit´ par morceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et

formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque F = F1 × F2 , on identifie L(E, F ) avec L(E, F1 ) ⊕ L(E, F2 ). Lorsque E = Rm et F = Rn , on identifie L(E, F ) avec Mn×m . 1

x)2 dx EI l x(l − x) dx EI 0 0 l 0 (5.16) x2 dx EI Ce qui donne : MA = bu B + (g + k B )u A (a + k A )(g + k B ) − b2 bu A + (a + k A )u B MB = (a + k A )(g + k B ) − b2 (5.17) Si la poutre est de section uniforme, nous avons les relations suivantes : a=g= l , 3E I b= l 6E I http://topographi.blogspot.com/ (5.18) l/2 P l http://topographi.blogspot.com/ A M(x) V(x) C y M(x) V(x) l/2 C a P Y

b l’ensemble des subdivisions de [a, b]. ´ Exemple 1.1.1 (subdivision equidistante) Lorsque xi = a + i h avec h = b−a , on n ´ parle de la subdivision equidistante d’ordre n de [a, b] ; on la note parfois [a, b]n . Le nombre h est le pas (uniforme) de cette subdivision. 5 www.L es-M athematiques.net D´ finition 2 La somme de Darboux inf´ rieure resp. sup´ rieure de f : e e e [a, b] → R relativement a une subdivision X = {x0 , . . . , xn } sont d´ finies e ` par n s(f, X)

|x - y|  ak+1 - ak  b-a n Choisissons un pas plus fin que h, obtenu pour les entiers n qui vérifient : Calcul intégral. Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ æb-aö n  Eç ÷+1 è h ø |x - y|  h Ainsi : De la continuité uniforme de ¦, on déduit : |¦(x) - ¦(y)|  e Cette dernière inégalité étant valable pour tous x et y de [ak, ak+1]. En particulier pour un x tel que ¦(x) = Mk et un y tel que ¦(y) = mk (existent bien car ¦ atteint ses bornes) : Mk - mk  e y

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit an xn une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ n=0 f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = an xn

la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0

Chapitre 5 La fonction logarithme népérien Pour prendre un bon départ (page 118) Activité 1 2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 . b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc

metghodeCe phénomène touche pratiquement toutes les villes de plus de 20 000 habitants en France, à savoir les grandes et moyennes villes. Seules, les petites agglomérations échappent plus ou moins au mouvement, ou du moins elles le connaissent sous une forme embryonnaire. Il n'existe pas de véritables spécificités régionales, à savoir des localisations préférentielles de la périurbanisation à l'Est, à l'Ouest, dans le Nord ou dans le Midi. La répartition de celle-ci est presque égalitaire, compte

Processus stochastiques et lemme d’Ito 1- Définitions et principaux types de processus stochastiques a- Processus stochastique On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires. Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, de préférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans