Continuité uniforme

M´diane, ´cart moyen minimum. Compl´ments et e e e exercices. e e CHAPITRE 9. Fonctions g´n´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´finitions. Propri´t´s. Sommes de variables al´atoires. Le th´oe ee e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue

fonction f admet une asymptote oblique ?........................................................................................................36 8.Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?. .37 3) CONTINUITÉ...........................................................................................................................39 1.Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ?................................39 2.Comment montrer qu'une

´quivaut ` r´soudre l’´quation int´grale e e a e e e t γ(t) = x0 + t0 f (s, γ(s)) ds o` γ est une fonction continue ` valeurs dans Ω. L’ensemble X des applications u a continues de I dans B(x0 , r) muni de la distance δ de la convergence uniforme est un espace m´trique complet, et on cherche un point fixe de l’application T : X → X e d´finie par e t T : γ −→ x0 + t0 f (s, γ(s)) ds (on v´rifie, et c’est l` que le choix du cylindre de s´curit´ intervient, que T (γ) est e a e e bien

par une formule de la forme : b F (x) = a f (x, t)dt. Si pour tout x ∈ I un intervalle, t → f (x, t) est continue par morceaux sur [a, b] alors F est bien définie sur I on donner deux résultats de régularités sur F . Proposition 5.1 Continuité Soit f une fonction bornée telle que pour tout x ∈ I un intervalle, t → f (x, t) est continue par morceaux sur [a, b]. Si pour tout t ∈ [a, b] fixé x → f (x, t) est continue sur I alors F est continue sur I. Proposition 5.2 Dérivabilité ∂f Si

A est convexe. ◦ b) La partie A est-elle convexe ? Exercice 25 [ 01120 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. ¯ ¯ Etablir d(A, B) = d(A, B) (en notant d(A, B) = inf d(x, y)) x∈A,y∈B Enoncés 3 Continuité et topologie Exercice 30 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 31 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 32 [ 01125 ] [correction]

de la série trigonométrique. Cas réel Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique ∞ a0 + (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). Alors (1) et posons f (x) = 2 k=1 a0 f (x) cos(nωx) = cos(nωx) + 2 a0 sin(nωx) + 2 ∞ [ak cos(kωx) cos(nωx) + bk sin(kωx) cos(nωx)] k=1 ∞ f (x) sin(nωx) = [ak cos(kωx) sin(nωx) + bk sin(kωx) sin(nωx)] k=1 ∞ 2π/ω La convergence uniforme nous permet d’avoir : 2π/ω 2π/ω a0 cos(nωx)dx + • f (x) cos(nωx)dx = 2 0 0 ∞ 2π/ω

théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat général 1/3 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes 2/3 Continuité - Dérivabilité Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable

non formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équivalence des Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 53 54 54 9 Notion de la continuité d'une fonction 9.0.45 9.0.46 Les parties compactes de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 57 Analyse 2 Premier cycle Bekkali 9.0.47 9.0

)n∈N et (S2n+1 )n∈N avec Sn = (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série (−1) uk . k=0 k (−1) uk . n 2. (a) Étudier la convergence simple sur R de la série de fonctions n 1 (−1) e−nx . n n (b) Étudier la convergence uniforme sur [0, +∞[ de la série de fonctions n 1 (−1) e−nx . n Corrigé exercice 8 1. (a) S2n+2 − S2n = u2n+2 − u2n+1 0, donc (S2n ) est décroissante. De même S2n+3 − S2n+1 0, donc (S2n+1 ) est croissante. De plus S2n − S2n+1 = u2n+1 et lim u2n+1 = 0,

et presque partout sur [a; b], où désigne (b) si f est Riemann intégrable, alors elle est Lebesgue intégrable et les deux intégrales coïncident. 6.4 Continuité et dérivabilité sous le signe On s’ intéresse maintenant a deux théorèmes très importants concernant les intégrales dépendant d’ un paramètre. R Théorème 5 (Continuité sous le signe ) Soient (X; A; ) un espace mesuré, E un espace métrique, t0 2 E et f : X E ! R tels que : (ii) 9V 2 V (t0 ) 9g : X ! R intégrable telle que 8t 2