Continuité uniforme

d’intersection de la parabole avec l’axe des x vérifie 1 − x 2 + 3 x − 6 = 0 . Le discriminant de cette 4 équation du second degré est ∆ = 9-6 = 3. Il est positif : l’équation admet deux solutions x = 2(3 ± 3) = 6 ± 2 3 . 3 2) Limites et continuité Définitions : • Une fonction f admet une limite (finie) L en x0, si f(x) , avec x dans Df, se rapproche infiniment près de L lorsque x se rapproche infiniment près de x0. 1 • Si f admet une limite à gauche (quand x tend vers x0 par valeurs inférieures)

-convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle p.p. de Sj vers f sans avoir à passer à une sous-suite (on n’en donne pas la démonstration dans le cours). (b) continuité L2 des translations. Énoncé analogue pour L1 . (c) si f est continue les gN convergent uniformément vers f . Énoncé analogue pour L1 . Semaine 2 dθ 1. Soit U l’opérateur de multiplication par z = exp(iθ) sur K = L2 (S 1 , 2π ) = L2 (0, 2π; dt)

D(F1 , . . . , F6 ) = ... ... ... ... ... D(x01 , . . . , x06 ) . . . . . . 0 sin t 0 0 ... ... 0 = 2 x06 sin t 2 x06 les intégrales singulières sont donc les solutions de (Sn1 ) telles que, sur I, on ait : 2 x06 sin t = 0, c’est-à-dire (par continuité) x06 = 0. 2 L’équation (x06 ) + t x1 = 0 donne alors x1 = 0, et les équations x04 conduisent à x2 = a t2 + b t + c , (a, b, c) 2 R3 . x6 = 0 et x02 x4 = 0 La solution générale s’obtient ensuite en résolvant le système normal : 8 > > x01 = x3

+ c)| ≤ δ(2|c| + δ) ≤ ε df √ df avec δ = min( ε/2, ε/(4|c|)) si c = 0 ou δ = ε si c = 0 et ceci pour un réel ε positif quelconque. Comme c est une valeur arbitraire, f est donc continue sur R. s Bien souvent il est utile d’avoir un critère de continuité impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque suite (xn )n∈N de points appartenant à Dom(f ) qui converge vers c

D´finition 17 Soient deux mesures µ et ν d´finies sur un espace mesurable (Ω, A). e e 1. On dit que ν est absolument continue par rapport ` µ si pour tout A ∈ A, l’´galit´ a e e µ(A) = 0 entraˆne ν(A) = 0 et on ´crit ν u}. Si U est de loi uniforme sur ]0, 1[, alors la fonction de r´partition de F ← (U ) est F . e Proposition 14 Si F ← est une fonction de quantile, elle est continue ` droite et admet a une limite ` gauche en tout point F . a 3.2 Vecteurs al´atoires e D´finition

cœfficients de la série trigonométrique. Cas réel. Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique ∞ a0 (1) et posons f (x) = + (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). Alors 2 k=1 a0 f (x) cos(nωx) = cos(nωx) + 2 a0 f (x) sin(nωx) = sin(nωx) + 2 ∞ [ak cos(kωx) cos(nωx) + bk sin(kωx) cos(nωx)] k=1 ∞ [ak cos(kωx) sin(nωx) + bk sin(kωx) sin(nωx)] k=1 La convergence uniforme nous permet d’avoir : 2π/ω a0 2π/ω • f (x) cos(nωx)dx = cos(nωx)dx + 2 0 0 2π/ω ∞ f (x) sin(nωx)dx

continue par morceaux sur R. • Pour chaque x ∈ R, la fonction ξ → Φ(ξ, x) est continue sur R. • Pour chaque (ξ, x) ∈ R2 , |Φ(ξ, x)| = |f(x)| = ϕ(x) où ϕ est une fonction continue par morceaux et intégrable sur R. Soit Φ : D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, f est continue sur R. ∀f ∈ L , f est continue sur R. 2) Montrons que W (resp. W ∗ ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (resp. L ∗ ). On a déjà W ⊂ L (resp. W ∗ ⊂ L ∗ ). La fonction nulle est dans

−t 2π . t 2 sin 2 t2 −t t sin − t ϕn (t) = 2π t 2π 2 sin 2 (2n + 1)t . Pour t ∈]0, π], on pose alors f(t) = 2 f est continue sur ]0, π]. De plus, quand t tend vers 0, f(t) ∼ posant f(0) = −1. En résumé, −t = −1. f se prolonge donc par continuité en 0 en t 2 2 n ∀n ∈ N∗ , k=1 π2 1 = + k2 6 π f(t) sin 0 (2n + 1)t 2 dt où f(t) =            t2 −t 2π si t ∈]0, π] t . 2 sin 2 −1 si t = 0 Il reste à étudier la limite quand n tend vers +∞ de l’expression

suivant les signes TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim =

R´visions sur l’int´gration d’une fonction continue par morceaux sur un segment. e e R´visions sur les suites num´riques. e e Notions de d´nombrabilit´. e e Fonctions int´grables sur un intervalle. e Th´or`mes de convergence (monotone et domin´e). e e e Continuit´ et d´rivabilit´ sous le signe . e e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a ← Aller ` la page pr´c´dente a e e 9.1. SEMAINE 1 CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 9.1.2 Les exercices +∞ 0 Exercice 9.1.1 Soient a, b > 0