Continuité uniforme

Résolution d'équations II) Résolution d'inéquations III) Résolution de systèmes linéaires PARTIE III ETUDES DE FONCTIONS I) Généralités II) Fonctions usuelles III) Limites de fonctions IV) Comportement asymptotique V) Dérivation VI) Tangente VII) Continuité VIII) Intégration PARTIE IV SUITES NUMERIQUES I) Généralités II) Suites arithmétiques III) Suites géométriques IV) Suites arithmético-géométriques V) Limites PARTIE V PROBABILITES I) Dénombrement II) Calculs de probabilités III) Variables aléatoires

(a)(x − a) • Pour déterminer les abscisses des éventuels points de C f où la tangente est parallèle à une certaine droite d’équation y = mx + p, il suffit de résoudre l’équation f (x) = m. (les coefficients directeurs devant être égaux) 3-6 Continuité - Equation f (x) = k • f est continue en un point a d’un intervalle I ⊂ D f si f admet une limite en a et si lim = f (a). x→a • Si f est dérivable en a alors f est continue en a. • Si f est continue et strictement croissante ou strictement décroissante

W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté C 0 , est la continuité ; le degré suivant, noté C 1 , est la continue différentiabilité ; encore plus régulières sont les fonctions C 2 , C 3 , ..., puis C

récurrence . . . . . . . . 1.4 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions 2.1 Les limites d’une fonction 2.2 Opérations sur les limites 2.3 Propriétés des limites . . . 2.4 Continuité . . . . . . . . . . 2.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

faut tracer e e la courbe enveloppe des moments fl´chissants (voir la m´thode de Caquot). e e 7.3.4 Effort tranchant Pour d´terminer la valeur de l’effort tranchant aux appuis, ce dernier est calcul´ e e en faisant abstraction de la continuit´, sauf pour les appuis voisins des appuis e de rive. En notant V0i la valeur absolue de l’effort tranchant sur les appuis de la trav´e isostatique de r´f´rence i, les valeurs absolues de l’effort tranchant aux e ee appuis sont d´termin´s de fa¸on

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .

une suite partielle convergeant vers un point de E, soit x = lim xkp . p→+∞ Par continuit´, on devrait avoir e f (x) = lim f (xkp ) = −∞ p→+∞ ce qui est absurde. Soit alors α = inf{f (x) | x ∈ E} et choisissons pour chaque k ∈ N un point yk ∈ E tel que 1 α < f (yk ) < α + . k Par compacit´, cette suite devra contenir une suite partielle convergeant vers e un point de E, soit y = lim ykp . p→+∞ Par continuit´, on aura e f (y) = lim f (ykp ) = α. p→+∞ C.Q.F.D. Th´or`me 9 Soit f : Rn →

propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N -E . 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors continue. n=0 Preuve. Soit 0 < r < R. Pour tout n ∈ N, les fonctions fn (x) = an xn sont continues dans [−R, R] et puisque la convergence est normale donc uniforme dans [−r,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .